Примеры вопросов и обсуждение корреляции моментов произведения
Корреляция Пирсона, также известная как корреляция Пирсона, — это статистический метод, используемый для измерения силы и направления линейной зависимости между двумя переменными. Этот метод полезен в различных областях, от академических исследований и бизнес-анализа до оценки экспериментов в естественных науках. В этой статье будут рассмотрены несколько примеров задач и их решения для расчета корреляции Пирсона.
Пендаулуан
Прежде чем перейти к примерам, полезно понять основную концепцию корреляции Пирсона. Общая формула для расчета коэффициента корреляции Пирсона (\(r\)) выглядит следующим образом:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Диман:
– \( n \) – количество пар данных.
– \( \sum{XY} \) — это сумма произведений \( X \) и \( Y \).
– \( \sum{X} \) — это сумма переменных \( X \).
– \( \sum{Y} \) — это сумма переменных \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) — это сумма квадратов переменной \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) — это сумма квадратов переменной \( Y \).
Коэффициент корреляции Пирсона (\( r \)) всегда находится в диапазоне от -1 до 1. Положительная корреляция указывает на то, что обе переменные движутся в одном направлении, а отрицательная корреляция указывает на то, что по мере увеличения одной переменной другая уменьшается. Если \( r = 0 \), то между двумя переменными отсутствует линейная корреляция.
Пример вопроса 1
Данные
Ниже представлены результаты экзаменов по математике и физике пяти учеников:
| Студент | Математика (X) | Физика (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Этапы решения проблемы
1. Расчет важных компонентов:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Введите в формулу:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Расчет результатов:
– Числитель: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Знаменатель:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона между результатами тестов по математике и физике составляет 0.633, что указывает на умеренную положительную корреляцию между этими двумя переменными.
Пример вопроса 2
Данные
Ниже представлены данные о стоимости продаж и расходах на рекламу за 6 месяцев работы компании:
| Месяц | Реклама (X) | Продажи (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Этапы решения проблемы
1. Расчет важных компонентов:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Введите в формулу:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Расчет результатов:
– Числитель: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Знаменатель:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона между расходами на рекламу и объемом продаж составляет 0.981, что указывает на очень сильную положительную корреляцию между этими двумя переменными.
заключение
Коэффициент корреляции Пирсона (\(r\)) — очень полезный инструмент для понимания линейной зависимости между двумя переменными. В приведенных примерах мы видим, как рассчитать значение \(r\) и интерпретировать его. Более высокая корреляция (ближе к 1 или -1) указывает на более сильную связь, тогда как более низкая корреляция (ближе к 0) указывает на более слабую связь. Важно отметить, что корреляция не подразумевает причинно-следственную связь; она просто указывает на наличие связи между двумя переменными.
