Примеры задач на равномерное круговое движение

11 примеров задач на равномерное круговое движение

1. Частица движется по кругу с постоянной угловой скоростью 10 рад/с. Определите (а) угловую скорость частицы через 10 секунд (б) угол, который образует частица через 10 секунд.
Обсуждение
(а) угловая скорость через 10 секунд
Частица движется по однородной окружности, то есть частица движется с постоянной угловой скоростью. Следовательно, угловая скорость через 10 секунд остается равной 10 радиан/секунду.

(б) угол, образованный через 10 секунд
Постоянная угловая скорость 10 радиан/секунду означает, что каждую секунду частица поворачивается на угол 10 радиан. Через 2 секунды частица поворачивается на угол 2 х 10 = 20 радиан. Через 10 секунд частица поворачивается на угол 10 х 10 радиан = 100 радиан.

2. Точка на ребре цилиндра движется по кругу с постоянной скоростью 10 м/с. Радиус цилиндра = 1 метр. Определите (а) скорость ребра цилиндра через 5 секунд; (б) расстояние, пройденное ребром цилиндра через 5 секунд; (в) центростремительное ускорение точек, находящихся на расстоянии 0,5 метра и 1 метра от оси вращения.
Обсуждение

(A) скорость точки на краю цилиндра через 5 секунд
Цилиндр движется по кругу с постоянной скоростью, поэтому через 5 секунд скорость края цилиндра остается равной 10 метрам/секунду.

(B) расстояние, пройденное точкой на краю цилиндра за 5 секунд
Без формулы
Скорость 10 метров/секунду означает, что каждую секунду точка на краю цилиндра перемещается на 10 метров. Через 1 секунду точка на краю цилиндра перемещается на 10 метров. Через 2 секунды точка на краю цилиндра перемещается на 20 метров. Через 5 секунд точка на краю цилиндра совершает круговое движение на 50 метров.
Используя формулу :
v = s/t
s = vt = (10)(5) = 50 метров
(c) центростремительное ускорение (а)_s)
Центростремительное ускорение точки, расположенной на расстоянии 0,5 метра от оси, равно:
a_s = V² / r = 10² / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 м/с²
Центростремительное ускорение точки, расположенной на расстоянии 1 метра от оси, равно:
a_s = V² / r = 10² / 0,5 = 100 / 1 = 100 м/с²

3. Поворотный стол радиусом 2 метра движется с постоянной угловой скоростью 60 об/мин. Определите (а) угловую скорость поворотного стола через 2 секунды; (б) угол, образованный поворотным столом через 1 минуту; (в) тангенциальную скорость, центростремительное ускорение и расстояние, пройденное точкой, находящейся на расстоянии 1 метра от оси вращения; (в) тангенциальную скорость, центростремительное ускорение и расстояние, пройденное точкой на краю поворотного стола.
Обсуждение
Известен :
Джаваб :
(A) угловая скорость ( ) через 2 секунды
Угловая скорость постоянна, поэтому через 2 секунды угловая скорость поворотного стола остается равной 6,28 радиан/секунду.
(B) угол ( ) окруженный поворотным столом через 1 минуту
Угловая скорость 1 оборот в секунду означает, что каждую секунду поворотный стол совершает один оборот. Через 60 секунд поворотный стол совершит 60 оборотов. Или, другими словами,
Угловая скорость 6,28 радиан/секунду означает, что каждую секунду поворотный стол поворачивается на угол 6,28 радиан. Через 60 секунд поворотный стол повернулся на угол 376,8 радиан.

4. Колесо автомобиля совершает 120 оборотов каждые 60 секунд. Какова угловая скорость колеса? Укажите её в: (а) оборот в минуту (rpm) или оборотов в минуту (б) градусов в секунду (^o/с) (c) радиан в секунду (рад/с)
Обсуждение
(A) Угловая скорость колеса в единицах оборотов в минуту (об/мин)
120 оборотов / 60 секунд = 120 оборотов / 1 минута = 120 оборотов в минуту = 120 об/мин
(B) угловая скорость колеса в градусах/секунду (^o/ с)
1 оборот = 360^o120 оборотов = 43200^o
Таким образом, 120 оборотов / 60 секунд = (120)(360)^o) / 60 секунд = 43200^o / 60 секунд = 720^o/второй
(c) Угловая скорость колеса в радианах/секунду (рад/с)
1 оборот = 6,28 радиан
Таким образом, 120 оборотов / 60 секунд = (120)(6,28) радиан / 60 секунд = 753,6 радиан / 60 секунд = 12,56 радиан/секунда

5. Шарик вращается в круглой чаше диаметром 1 м. Если шарик вращается вокруг края чаши с постоянной угловой скоростью 50 об/мин, то линейная скорость и центростремительное ускорение шарика равны…

А. 50 мс^-1 и 2500 мс^-2
Б. 5π мс^-1 и 25π² Миз^-2
C. 5π/3 мс^-1 и 25π²/18 мс^-2
Д. 5π/6 мс^-1 и 25π²/18 мс^-2
E. 5π/12 мс^-1 и 25π²/36 мс^-2

Обсуждение
Известно, что:
Диаметр окружности (D) = 1 метр
Радиус окружности (r) = 0,5 метра
Угловая скорость (ω) = 50 об/мин = 50 оборотов в минуту
1 оборот = 2π радиан
50 оборотов = 50 (2π радиан) = 100π радиан
1 минута = 60 секунд
Угловая скорость (ω) = 100π радиан / 60 секунд = (10π/6) радиан/секунда
Вопрос: Линейная скорость (v) и центростремительное ускорение (a)_s)
Джаваб:

Линейная скорость (v):
v = r ω = (0,5)(10π/6) = 5π/6 м/с
Центростремительное ускорение (а)_s):
a_s = V²/r = (5π/6)² : 0,5 = 25π²/36 : 0,5 = (25π)²/36)(1/0,5)
a_s = (25π²/18) м/с²
Правильный ответ — D.

6. Объект движется по кругу радиусом 50 см. Если объект вращается со скоростью 120 об/мин, то время вращения и скорость объекта равны соответственно…

А. 0,5 с и 2π мс^-1
B. 0,5 с и 0,2π мс^-1
C. 0,5 с и π мс^-1
D. 2 с и 5π мс^-1
Е. 2 с и 10π мс^-1

Обсуждение
Известно, что:
Радиус (r) = 50 см = 0,5 метра
Угловая скорость (ω) = 120 об/мин = 120 оборотов / 1 минута = 120 оборотов / 60 минут = 2 оборота / 1 секунда
1 оборот = 2π радиан
Угловая скорость (ω) = 2 (2π радиан) / 1 секунда = 4π радиан/секунда
Вопрос: Время вращения (T) и линейная скорость (v)
Джаваб:
Время цикла или период (Т):
Период — это время, за которое объект совершает один оборот.
Объект совершает 2 оборота за 1 секунду = объект совершает 1 оборот за 0,5 секунды. Следовательно, период вращения составляет 0,5 секунды.
Скорость объекта (v):
v = r ω = (0,5 метра)(4π радиан/секунду) = 2π метров/секунду
Правильный ответ — А.

Изучите материал круговое движение Дан равномерное круговое движение чтобы лучше понять дискуссию по этому вопросу.

7. Колесо радиусом 10 см вращается равномерно, совершая 180 оборотов в минуту. Линейная скорость точки на краю колеса равна…
Обсуждение
Известно, что:
Вопрос:
Линейная скорость (v) ?
Джаваб:
Точка на краю колеса находится на расстоянии 0,1 метра от центра колеса.
Правильный ответ — А.

8. Объект движется с постоянной скоростью v по круговой траектории радиусом R с центростремительным ускорением (a)._sТаким образом, центростремительное ускорение становится в три раза больше первоначального...
А. v повторяется 4 раза, а R повторяется еще 2 раза.
B. v выполняется 2 раза, а R выполняется еще 4 раза.
C.v выполняется 3 раза, а R выполняется еще 3 раза.
D.v остается, а R снова удваивается.
E.v снова удваивается, а R остается неизменным.
Обсуждение
Правильный ответ — C.

9. Колеса A, B и C соединены друг с другом, как показано на рисунке. Если радиусы колес A, B и C равны 10 см, 4 см и 2 см соответственно, а колесо B вращается с угловой скоростью 5 рад/с^-1 Затем колесо C вращается с угловой скоростью…
А. 80 рад.с^-1
В. 55 рад.с^-1
С. 40 рад.с^-1
Д. 25 рад.с^-1
Е. 10 рад.с^-1
Обсуждение
Известно, что:
Джаваб:
Взаимосвязь между колесом А и колесом В
Колеса А и В соединены друг с другом, поэтому они вращаются вместе. Поскольку они вращаются вместе, угловая скорость колеса А равна угловой скорости колеса В.
Взаимосвязь между колесом А и колесом С
Длина окружности колеса А значительно больше длины окружности колеса С. Если колесо С совершило полный оборот на 360 градусов.^o или сделать один оборот, но при этом колесо А не достигнет 360 градусов.^o или один оборот. Таким образом, угловая скорость колеса А не совпадает с угловой скоростью колеса С.
Однако колеса А и С соединены веревкой. Поскольку они соединены веревкой, за один и тот же промежуток времени расстояние, пройденное краем колеса А, равно расстоянию, пройденному краем колеса С. Следовательно, линейная скорость колеса А равна линейной скорости колеса В.
Вывод :
Правильный ответ — D.

Круговое движение

10. Объект сравномерное круговое движение с радиусом 6 метров. Если за 2 минуты объект совершает 16 оборотов, то линейная скорость Объект — это…
А. 0,8 пмс^-1
Б. 1,0 пмс^-1
С. 1,2 пмс^-1
Д. 1,4 пмс^-1
Е. 1,6 пмс^-1
Обсуждение
Известно, что:
Радиус (r) = 6 метров
Угловая скорость (ω) = 16 оборотов / 2 минуты = 8 оборотов / минута = 8 оборотов / 60 секунд = 0,13 оборотов / секунда.
Вопрос: линейная скорость (v)?
Джаваб:
Формула для соотношения между линейной скоростью (v) и угловая скорость (ω) :
v = r ω = (6 метров)(0,13 оборотов/секунду) = 0,8 оборотов/метр/секунду
Правильный ответ — А.

Если выразить в радианах:
1 оборот = 2π радиан = 2(3,14) = 6,28 радиан
Угловая скорость = 8 (6,28) радиан / 60 секунд = 50,24 радиан / 60 секунд = 0,84 радиан/секунда
v = r ω = (6 метров)(0,84 радиан/секунду) = 5,04 радиан/секунду

11. Винт вентилятора с радиусом 20/π см может совершить 4 оборота за 1 секунду. Линейная скорость кончика винта равна…
А. 3,2 мс^-1
Б. 1,6 мс^-1
С. 1,3 мс^-1
Д. 1,0 мс^-1
Е. 0,8 мс^-1
Обсуждение
Известно, что:
Радиус (r) = 20/π м = 20 / 3,14 см = 6,4 см = 0,064 метра
Угловая скорость (ω) = 4 оборота / 1 секунда = 4 оборота/секунду
1 оборот = (2)(3,14) радиан = 6,28 радиан
Угловая скорость (ω) = (4)(6,28) радиан/секунду = 25,12 радиан/секунду
Вопрос: линейная скорость (v) кончика винта?
Джаваб:
v = r ω = (0,064 метра)(25,12 радиан/секунду) = 1,6 метра/секунду
Правильный ответ — B.