Tehnici pentru determinarea abaterii medii în datele statistice
În statistică, simpla înțelegere a „centrului” datelor - de exemplu, prin medie sau mediană - este adesea insuficientă. Două seturi de date pot avea aceeași medie, dar diferă semnificativ în ceea ce privește nivelurile lor de „variație”. Prin urmare, măsurile de dispersie sunt importante. O măsură a dispersiei relativ ușor de înțeles și de utilizat este abaterea medie. Acest articol discută tehnici de determinare a abaterii medii în diferite forme de date statistice, complet cu pași de calcul și exemple.
Înțelegerea abaterii medii
Abaterea medie este o măsură ce indică distanța medie a fiecărui punct de date față de o măsură a tendinței centrale, de obicei media aritmetică (media) sau mediana. Distanța în cauză este valoarea absolută a diferenței dintre date și valoarea centrală, astfel încât nicio diferență negativă să nu „anuleze” o diferență pozitivă.
În general, abaterea medie descrie cât de departe sunt dispersate datele față de valoarea lor centrală. Cu cât abaterea medie este mai mică, cu atât datele sunt mai strâns grupate în jurul centrului; cu cât valoarea este mai mare, cu atât datele sunt mai variabile.
De ce se folosește valoarea absolută?
Dacă calculăm media diferențelor dintre date și medie fără o valoare absolută, suma diferențelor va fi întotdeauna zero (deoarece media este punctul de echilibru). De exemplu, dacă există diferențe de +5 și -5, acestea adunate dau 0. Prin urmare, se utilizează valori absolute astfel încât abaterile să reflecte cu adevărat distanța datelor față de centru.
Formula deviației medii pentru date individuale
Pentru date individuale (negrupate), abaterea medie față de medie se formulează:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Informație:
– \(SR \): abatere medie
– \( x_i \): i-a dată
– \( \bar{x} \): medie aritmetică (medie)
– \(n \): cantitatea de date
Tehnica de calcul a datelor unice (pași)
1. Calculați media \( \bar{x} \) a tuturor datelor.
2. Calculați diferența dintre fiecare dată și medie: \(x_i – \bar{x} \).
3. Calculați valoarea absolută a fiecărei diferențe: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Adunați toate valorile absolute ale diferențelor.
5. Împărțiți la numărul de date \(n \).
Exemplu de date unice
Date valorice: 6, 8, 10, 12, 14
1) Media:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Valoarea absolută a diferenței:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Total = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Abaterea medie:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Aceasta înseamnă că, în medie, fiecare valoare deviază cu 2,4 unități de la medie (10).
Abaterea medie pentru date frecvente (discrete)
Dacă datele sunt prezentate sub formă de valori și frecvențe (de exemplu, un tabel), formula devine:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Informație:
– \( f_i \): frecvența datelor \( x_i \)
Tehnici de calcul al datelor de frecvență
1. Calculați media: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Calculați \( |x_i - \bar{x}| \)
3. Înmulțiți cu frecvența: \( f_i |x_i - \bar{x}| \)
4. Adunați toate rezultatele de la pasul 3
5. Împărțiți la frecvența totală
Exemple de date discrete
| Valoare (x) | Frecvență (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Frecvență totală: \(2+3+1=6\)
Rău:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Calculați abaterea:
– Pentru x=5: |5−6,67|=1,67 → ori f=2 → 3,34
– Pentru x=7: |7−6,67|=0,33 → ori f=3 → 0,99
– Pentru x=9: |9−6,67|=2,33 → ori f=1 → 2,33
Total: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Abatere medie:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Abaterea medie pentru datele grupate (interval de clasă)
În datele grupate (de exemplu, distribuțiile de frecvență pe intervale), valorile datelor nu sunt afișate individual, ci mai degrabă în clase. În acest scop, punctul de mijloc al clasei (xi) este utilizat pentru a reprezenta datele dintr-o clasă.
Formula:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Totuși, \(x_i\) este punctul de mijloc al clasei.
Tehnici de calcul al datelor de grup
1. Determinați punctul de mijloc al fiecărei clase:
\[
x_i=\frac{\text{limită inferioară + limită superioară}}{2}
\]
2. Calculați media grupului:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. Calculați \( |x_i - \bar{x}| \)
4. Înmulțiți cu frecvența \( f_i \)
5. Adunați toate rezultatele, apoi împărțiți la frecvența totală.
Exemplu de date de grup
| Clasa | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Punct de mijloc:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Total f = 10
Rău:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Abatere:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Total = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Abatere medie:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Abaterea medie de la mediană
Pe lângă medie, abaterea medie poate fi calculată și din mediană. Principiul este același, doar valoarea centrală este diferită. Acest lucru este util atunci când datele conțin valori aberante, deoarece mediana este mai rezistentă la valori extreme.
Pentru date individuale:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
Pentru datele de frecvență:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i - Me|}{\sum f_i}
\]
Avantajele și limitele abaterii medii
Avantaje:
1. Ușor de înțeles deoarece folosește „distanța medie” față de centrul de date.
2. Folosește toate datele (nu doar anumite date).
3. Poate fi calculat pentru diverse forme de prezentare a datelor.
Keterbatasan:
1. Mai puțin populară decât deviația standard în analiza statistică avansată.
2. Utilizarea valorilor absolute face ca unele manipulări algebrice să fie mai puțin convenabile.
3. Nu la fel de puternică ca abaterea standard în multe metode inferențiale.
Închidere
Tehnica de determinare a abaterii medii în datele statistice urmează în esență un model consistent: se determină valoarea centrală (media sau mediana), se calculează distanța absolută a fiecărui punct de date (sau punctul de mijloc al clasei) față de centru și apoi se face media acestora - ținând cont de frecvență dacă datele sunt prezentate într-un tabel. Abaterea medie este o măsură convenabilă a dispersiei pentru descrierea intuitivă a variabilității datelor. Prin înțelegerea pașilor, puteți compara variația între seturile de date și puteți evalua mai complet stabilitatea unui set de date.
Dacă dorești, te pot ajuta să creezi o versiune a acestui articol într-un format de temă școlară (cu introducere-discuție-concluzie) sau să adaugi întrebări de antrenament odată cu discuția.
