Cum se calculează cvartilele, decilele și percentilele în datele statistice
În statistică, trebuie adesea să determinăm poziția unei valori într-un set de date. Simpla calculare a mediei sau medianei nu este suficientă, deoarece aceste măsuri nu reușesc să descrie modul în care sunt distribuite datele și cum se compară o observație cu altele. Aici intră în joc cvartilele, decilele și percentilele. Acestea trei sunt măsuri poziționale care împart datele sortate în părți egale. Acest articol discută definițiile, pașii generali și modul de calculare a cvartilelor, decilelor și percentilelor atât pentru seturi de date individuale, cât și pentru seturi de date grupate.
-
1. Concept de bază: Datele trebuie sortate
Înainte de a calcula cuartilele, decilele sau percentilele, cel mai important pas este sortarea datelor de la cea mai mică la cea mai mare. Odată ce datele sunt sortate, putem determina locația cuartilelor, decilelor sau percentilelor pe baza pozițiilor indexului lor.
În general:
– Cvartilele împart datele în 4 părți.
– Decilele împart datele în 10 părți.
– Percentilele împart datele în 100 de părți.
În practică, cvartilele, decilele și percentilele sunt utilizate în mod obișnuit pentru analiza scorurilor la teste, a datelor privind veniturile, a măsurătorilor antropometrice (înălțime/greutate) și a evaluării performanței.
-
2. Cum se calculează cuartilele (Q1, Q2, Q3)
A. Cuartile în date individuale (negrupate)
Quartilele sunt formate din:
– Q1: cuartila inferioară (25% din date sunt sub aceasta)
– Q2: mediană (50%)
– Q3: cuartila superioară (75%)
Pași pentru calcularea cuartilelor individuale de date:
1. Sortați datele.
2. Calculați poziția quartilului folosind formula poziției:
– Poziția Q1 = \((n+1)/4\)
– Poziția Q2 = \(2(n+1)/4\) sau \((n+1)/2\)
– Poziția Q3 = \(3(n+1)/4\)
Dacă poziția este un număr întreg, se ia valoarea la acea poziție. Dacă poziția este o fracție, se interpolează (se ia valoarea dintre cele mai apropiate două puncte de date).
Un exemplu rapid:
Date sortate: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Poziția Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → se află între a 2-a și a 3-a dată.
Deci Q1 este între 6 și 7. Interpolare:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Cuartile în date grupate (distribuția frecvenței)
Pentru datele grupate (de exemplu, intervale de clasă), quartilele se calculează folosind formula:
\[
Q_k = L + (\frac{\frac{k}{4}n – F\right)}{f} \right) × c
\]
Informație:
– \(Q_k\): al k-lea quartil (k = 1,2,3)
– \(L\): marginea inferioară a clasei quartile
– \(n\): numărul de date (frecvența totală)
– \(F\): frecvența cumulată înainte de clasa quartilică
– \(f\): frecvența în clasa quartilică
– \(c\): lungimea clasei
Pași generali:
1. Creați o frecvență cumulativă.
2. Determinați poziția quartilei: \(k/4 \times n\).
3. Găsiți clasa care conține acea poziție.
4. Introduceți formula.
-
3. Cum se calculează decilele (D1 până la D9)
Decilele împart datele în 10 părți, astfel încât:
– \(D_1\) indică limita inferioară de 10% a datelor,
– \(D_5\) este egal cu mediana,
– \(D_9\) indică limita de 90% a datelor.
A. Decile în date individuale
Formula poziției decile:
\[
\text{Poziție } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
cu \(k = 1, 2, \dots, 9\).
Odată obținută poziția, metoda de luare a valorii este aceeași ca pentru quartilă: dacă este întreagă, se ia direct, dacă este fracționară, se interpolează.
-
B. Decile în datele grupate
Formula decilă pentru date grupate:
\[
D_k = L + (\frac{\frac{k}{10}n – F\right)}{f} \right) × c
\]
Descrierea este aceeași ca la quartilă, doar că divizorul este 10.
Langkah:
1. Calculați ∫k/10⁻¹ × n).
2. Determinați clasa decilului pe baza frecvenței cumulative.
3. Înlocuiți în formulă.
Decilele sunt adesea folosite în analiza economică, de exemplu, împărțirea veniturilor oamenilor în 10 grupe (decilul 1 fiind cel mai sărac, iar decilul 10 fiind cel mai bogat).
-
4. Cum se calculează percentilele (P1 până la P99)
Percentilele sunt mai detaliate deoarece împart datele în 100 de părți. Valoarea P25 = Q1, P50 = mediană și P75 = Q3. Aceasta înseamnă că quartilele sunt de fapt un caz special de percentile.
A. Percentile pe date individuale
Formula poziției percentile:
\[
\text{Poziție } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
cu \(k = 1, 2, \dots, 99\).
Procedura este aceeași: sortează datele, calculează poziția, apoi ia valoarea sau interpolează.
-
B. Percentile în datele grupate
Formula percentilei pentru datele grupate:
\[
P_k = L + (\frac{\frac{(k}{100}n – F)}{f) × c
\]
Pașii sunt identici cu cei pentru decile/cuartile:
1. Determinați poziția ∫(k/100 × n).
2. Găsiți clasa percentilă a frecvenței cumulative.
3. Folosește formula.
Percentilele sunt adesea folosite în evaluările academice și de sănătate. De exemplu, înălțimea unui copil la percentila 80 înseamnă că acesta este mai înalt decât 80% dintre copiii de vârsta sa.
-
5. Sfaturi importante și greșeli frecvente
1. Datele trebuie sortate (în special pentru datele individuale). Fără sortare, cuartilele/decilele/percentilele nu au sens.
2. Asigurați-vă că utilizați muchii de clasă pe datele grupate (nu limite de clasă) dacă utilizați concepte continue.
3. Frecvența cumulată trebuie să fie corectă, deoarece clasa cuartilă/decilă/percentilă este determinată din frecvența cumulată.
4. Acordați atenție lungimii clasei (c). Lungimea clasei nu trebuie să fie greșită, deoarece afectează rezultatele calculului.
5. Interpolarea este importantă atunci când pozițiile nu sunt rotunjite. Mulți studenți rotunjesc imediat pozițiile, chiar dacă acest lucru poate reduce precizia.
-
6. Închidere
Cuartilele, decilele și percentilele sunt instrumente statistice importante pentru înțelegerea distribuției datelor. Cuartilele sunt potrivite pentru rezumate simple (de exemplu, într-un boxplot), decilele sunt utile pentru grupări mai detaliate, cum ar fi analiza veniturilor, în timp ce percentilele ajută la evaluarea poziției unui individ foarte specific în cadrul populației. Prin înțelegerea pașilor de bază - ordonarea datelor, determinarea poziției și utilizarea formulelor adecvate pentru date individuale sau grupate - puteți calcula cuartilele, decilele și percentilele cu mai multă precizie și încredere.
Dacă doriți, pot adăuga un exemplu complet de tabel de date grupate (interval, frecvență, frecvență cumulativă) și apoi pot calcula Q1, D7 și P85 în detaliu pentru a facilita exersarea.
