Arcuri în serie și paralel – probleme și soluții

1. Un obiect de 160 de grame se atașează la un capăt al unui arc, iar modificarea lungimii arcului este de 4 cm. Care este modificarea lungimii a trei arcuri conectate în serie și paralel, așa cum se arată în figura de mai jos?

Cunoscut:

Variația lungimii unui arc (Δx) = 4 cm = 0.04 m Arcuri în serie și paralel – probleme și soluții 1

Masa (m) = 160 grame = 0.16 kg

Accelerația datorată gravitației (g) = 10 m/s²

Greutate (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 newtoni

Căutat: Variația lungimii a trei arcuri (Δx)

soluţie:

Ecuația lui Legea lui Hooke :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Cele trei arcuri au aceeași constantă, k = 40 N/m.

Determinați constanta echivalentă:

Primăvara 2 (k₂) și arcul 3 (k₃) tară conectată în paralel. Constanta echivalentă:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Primăvara 1 (k₁) și arcul 23 (k₂₃) sunt conectate în serie. Constanta echivalentă:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Determinați variația lungimii a trei arcuri:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Trei arcuri cu aceeași constantă conectate în serie și paralelși un obiect de 2 kg atașat la un capăt al unui arc, așa cum se arată în figura de mai jos. Constanta arcului este k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Care este schimbarea lungimii celor trei arcuri? Accelerația datorată gravitației este g = 10 ms^-2.

Cunoscut:

Constanta arcului k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms^-2

Masa obiectului (m) = 2 kg

Greutatea obiectului (w) = mg = (2)(10) = 20 newtoni

Vezi si Legea lui Kirchhoff – probleme și soluții

Căutat: Modificarea lungimii celor trei arcuri (Δx)

soluţie:

Determinați constanta echivalentă:

Primăvara 1 (k₁) și arcul 2 (k₂) sunt conectate în paralel. Constanta echivalentă:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Primăvara 3 (k₃) și arcul 12 (k₁₂) sunt conectate în serie. Constanta echivalentă:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Determinați variația lungimii celor trei arcuri:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Trei arcuri sunt conectate în serie și în paralel, așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă constanta arcului k = 50 Nm^-1 și o masă de 400 de grame atașată la un capăt al unui arc. Care este variația de lungime a celor trei arcuri.

Cunoscut:

Constanta elastică 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Constanta elastică 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Constanta elastică 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Masa obiectului (m) = 400 grame = 0.4 kg

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/s²

Greutatea obiectului (w) = mg = (0.4)(10) = 4 newtoni

Căutat: Modificarea lungimii (Δx)

soluţie:

Determinați constanta echivalentă:

Primăvara 1 (k₁) și arcul 2 (k₂) sunt conectate în paralel. Constanta echivalentă:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Primăvara 3 (k₃) și arcul 12 (k₁₂) sunt conectate în serie. Constanta echivalentă:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Determinați variația lungimii celor trei arcuri:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Cum afectează combinarea arcurilor în serie constanta generală a elasticului?
- Răspuns: Când arcurile sunt combinate în serie, constanta generală a arcului este redusă. Reciproca constantei arcului echivalent este suma reciprocelor constantelor arcului individuale: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Cum se modifică constanta generală a elasticului atunci când arcurile sunt combinate în paralel?
- Răspuns: Combinarea arcurilor în paralel are ca rezultat o constantă generală a arcului care este suma constantelor individuale ale arcului: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Dacă două arcuri identice sunt aranjate în serie, cum se compară constanta elastică combinată cu constanta elastică a unui arc individual?
- Răspuns: Constanta elastică combinată va fi jumătate din constanta elastică a unuia dintre arcurile individuale.

Ce se întâmplă cu extensia sau comprimarea arcurilor în serie atunci când se aplică o forță?
- Răspuns: Pentru arcurile dintr-o serie, aceeași forță determină extinderea sau comprimarea fiecărui arc, dar extinderea (sau compresia) totală este suma extinderilor (sau compresiilor) arcurilor individuale.

Dacă niște arcuri paralele sunt supuse unei forțe, cum se distribuie această forță?
- Răspuns: Pentru arcurile în paralel, forța este distribuită între arcuri în funcție de constantele lor elastice. Arcurile cu o constantă elastică mai mare vor suporta o parte mai mare din forță decât cele cu o constantă elastică mai mică.
De ce pot fi considerate arcurile dintr-o serie ca un singur arc cu o lungime mai mare?
- Răspuns: Arcurile în serie au un efect combinat echivalent cu întinderea unui singur arc mai lung. Extensiile sau compresiile arcurilor individuale se adună, la fel cum s-ar întâmpla în cazul unui singur arc mai lung.

Cum se compară energia potențială stocată în arcuri în serie cu cea din arcurile în paralel pentru aceeași forță aplicată?
- Răspuns: Arcurile în serie stochează mai multă energie potențială decât arcurile în paralel pentru aceeași forță aplicată, deoarece acestea suferă o extensie sau compresie combinată mai mare.
Dacă unul dintre arcurile dintr-o configurație paralelă se rupe sau devine ineficient, ce se întâmplă cu comportamentul general al sistemului?
- Răspuns: Dacă un arc dintr-o configurație paralelă se rupe, arcurile rămase vor funcționa în continuare. Cu toate acestea, constanta generală a arcului sistemului va scădea, iar sistemul nu va mai putea exercita la fel de multă forță de revenire ca înainte.

De ce sunt arcurile în serie mai susceptibile la deformări mai mari decât cele în paralel pentru aceeași forță aplicată?
- Răspuns: Pentru arcurile în serie, aceeași forță acționează asupra fiecărui arc, determinând extinderea sau comprimarea fiecăruia. Deformația totală este suma deformărilor individuale. În paralel, forța este distribuită între arcuri, astfel încât fiecare dintre ele experimentează o forță efectivă redusă, ceea ce duce la deformări individuale mai mici.
În aplicațiile practice, de ce ar putea inginerii alege să utilizeze arcuri în paralel, mai degrabă decât în serie?

Răspuns: Inginerii ar putea alege arcuri în paralel pentru a obține o constantă generală a arcului mai mare, rezultând un comportament mai rigid. Această configurație poate oferi, de asemenea, redundanță; dacă un arc se defectează, sistemul continuă să funcționeze, deși cu o constantă generală a arcului redusă.