Moment de inerție

1. Momentul de inerție al particulei

Examinați o particulă în rotație. Particulei cu masa m i se aplică forța F, astfel încât particula se rotește în jurul axei O. Particula este la o distanță r de axa de rotație. Mai întâi, particula este în repaus (v = 0). După ce se mișcă sub influența forței F, particulele se mișcă cu o anumită viteză, astfel încât particulele au accelerație tangențială. Relația dintre forța (F), masa (m) și accelerația tangențială a particulelor este exprimată prin ecuația 3:

F = ma _tan (Ecuația 3)

Particulele se rotesc astfel încât particulele au accelerație unghiulară. Relația dintre accelerația tangențială și accelerația unghiulară este exprimată prin ecuația 4:

a _tan = r α (Ecuația 4)

Înlocuiți a în ecuația 3 cu a în ecuația 4:

F = mr α

r F = ^mr²α

τ = (mr² ⁾ α (Ecuația 5)

r F este momentul forței, iar mr² ^este momentul de inerție al particulei. Ecuația 5 prezintă relația dintre momentul forței, momentul de inerție și accelerația unghiulară a particulelor în rotație. Ecuația 5 este ecuația celei de-a doua legi a lui Newton pentru particulele în rotație.

Momentul de inerție al unei particule este produsul dintre masa particulei (m) și pătratul distanței dintre particule cu axa de rotație (r² ⁾.

I = mr² ⁽ Ecuația 6)

I = momentul de inerție al particulei, m = masa particulei, r = distanța dintre particulă și axa de rotație. Ecuația 6 este utilizată pentru a determina momentul de inerție al unei particule.

3.2 Exemple de probleme ale momentului de inerție al particulei

Problema exemplu 1.

O particulă cu o masă de 2 kg a fost legată de o frânghie lungă de 0.5 metri și apoi rotită. Care este momentul de inerție al particulelor atunci când se rotesc?

Soluţie:

Eu = Domnul ²

I = (2 kg) (0.5 m) ^²

I = 0.5 kg ^m²

Problema exemplu 2.

Două particule, fiecare având o masă de 2 kg și, respectiv, 4 kg, sunt conectate printr-un fir ușor, a cărui lungime a firului este de 2 metri. Ignorați masa firelor. Determinați momentul de inerție al celor două particule, dacă:

a) Axa de rotație este situată între cele două particule

Soluţie:

^Eu = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

Eu = (2)(12) + (4)(12)

Eu = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) Axa de rotație se află la o distanță de 0.5 metri de particula cu masa de 2 kg

^Eu = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

Eu = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Eu = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) Axa de rotație se află la o distanță de 0.5 metri de particula cu masa de 4 kg

^Eu = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (2)(1.52) + (4)( ^0.5² )

Eu = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Eu = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Pe baza rezultatelor calculelor de mai sus, momentul de inerție este puternic influențat de poziția axei de rotație. Deși forma și dimensiunea sunt aceleași deoarece poziția axei de rotație este diferită, momentul de inerție este, de asemenea, diferit.

Particulele aflate în apropierea axei de rotație au un moment de inerție mai mic, în timp ce particulele care sunt departe de axa de rotație au un moment de inerție mai mare. Dacă presupunem că cele două particule de mai sus sunt obiecte rigide, atunci fiecare particulă se află în apropierea axei de rotație.

are un moment de inerție mai mic decât momentul de inerție al particulei mai departe de axa de rotație.

3.3 Momentul de inerție al unui corp rigid omogen

Obiectele rigide sunt compuse din mai multe particule. Momentul de inerție al unui corp rigid este numărul total de momente de inerție ale fiecărei particule care construiește obiectul.

I = Σ ^mr²

Eu = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Pentru a determina momentul de inerție al unui obiect rigid, trebuie să examinăm obiectul atunci când se rotește, deoarece poziția axei de rotație afectează momentul de inerție al obiectului. Momentul de inerție (I) al fiecărei particule depinde, de asemenea, de masa (m) a particulei și de pătratul distanței (r² ⁾ a particulei față de axa de rotație. Masa tuturor particulelor care formează obiectul este masa obiectului.

Problema este că distanța fiecărei particule față de axa de rotație variază.

Revedeți scăderea formulei momentului de inerție al unui inel subțire cu degetele R și masa M.

Dacă axa de rotație este situată în centrul inelului, toate particulele inelului subțire sunt situate față de axa de rotație. Momentul de inerție al unui inel subțire este egal cu momentul de inerție al tuturor particulelor:

I = Σ mr²

Eu = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Masa tuturor particulelor = masa inelului subțire (M)

_I = M ( _r₁₂ ⁺ r₂₂ ⁺ _r₃₂ + ^… + _r₂₂ ⁾

Fiecare particulă a inelului subțire este la r față de axa de rotație, astfel încât r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R

Ecuația momentului de inerție al inelului subțire:

I = ^MR²

I = momentul de inerție al inelului subțire, M = masa inelului subțire, R = raza inelului subțire.

Ce se întâmplă dacă axa de rotație nu este situată în centrul inelului? Dacă axa de rotație nu este situată în centrul inelului, formula momentului de inerție al inelului subțire nu poate fi derivată folosind metoda de mai sus.

deoarece distanța fiecărei particule față de axa de rotație este diferită. Derivarea formulei momentului de inerție pentru o problemă de acest gen nu este discutată în acest subiect.

Formula momentului de inerție pentru unele obiecte rigide

3.4 Problemă exemplu a momentului de inerție al unui corp rigid omogen

Problema exemplu 1:

Cilindrul cu tijă AB are o masă de 3 kg atunci când este rotit prin B,

Momentul de inerție este de 27 kg m² ^. Care este momentul de inerție dacă

rotit prin C?

Soluţie:

Soluţie:

Formula momentului de inerție pentru o tijă solidă omogenă (axa de rotație este în centrul tijei):

I = 1/12 ^ML²

27 = (1/12) ^ML²

(27)(12) = ^ML2

324 = ^ML2

Formula momentului de inerție al unei tije solide omogene (axa de rotație pe marginea tijei):

I = 1/3 ^ML²

Eu = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²