Momentul de inerție al particulelor și corpurilor rigide – probleme și soluții

Momentul de inerție al particulei

1. O bilă de 100 de grame conectată la un capăt al unei coarde cu o lungime de 30 cm. Care este momentul de inerție al bilei în raport cu axa de rotație AB? Ignorați masa coardei.

Cunoscut:

Axa de rotație la AB

Masa bilei (m) = 100 grame = 100/1000 = 0.1 kg

Distanța dintre bilă și axa de rotație (r) = 30 cm = 0.3 m

Cerut: Momentul de inerție al bilei (I)

soluţie:

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m²

_{2. O bilă de} 100 de grame, m1 , și o bilă _de 200 de grame, m2 , conectate printr-o tijă cu o lungime de 60 cm. Masa tijei este ignorată. Axa de rotație este situată în centrul tijei. Care este momentul de inerție al bilei în raport cu axa de rotație?

Cunoscut:

Masa bilei 1 (m1 ₎ = 100 grame = 100/1000 = 0.1 kg

Distanța dintre bila 1 și axa de rotație (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Masa bilei (m² ₎ = 200 grame = 200/1000 = 0.2 kg

Distanța dintre bila 2 și axa de rotație (r² ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Cerut: momentul de inerție al bilelor

Jawab:

^Eu = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.2 kg)( 0.3 m) ^²

I = (0.1 kg) ( 0.09 m² ⁾ + (0.2 kg) ( 0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m² + 0.018 kg ^m²

I = 0.027 kg ^m²

3. O bilă de 200 de grame, m1 _, și o bilă de 100 de grame, _m2 , _conectate printr-o tijă cu lungimea de 60 cm. Se ignoră masa tijei. Axa de rotație este situată la bila m2 . Care este momentul de inerție al bilelor? Se ignoră masa tijei.

Cunoscut:

Masa bilei 1 (m1 ₎ = 200 grame = 200/1000 = 0.2 kg

Distanța dintre bila 1 și axa de rotație (r1 ₎ = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Masa bilei 2 (m² ₎ = 100 grame = 100/1000 = 0.1 kg

Distanța dintre bila 2 și axa de rotație (r2 ₎ = 0 m

Cerut: Momentul de inerție al bilelor

soluţie:

^Eu = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂_​^​_​

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ^² + (0.2 kg)(0 ) ^²

I = (0.2 kg)( 0.36 ^m² ) + 0

I = 0.072 kg ^m²

4. Masa fiecărei bile este de 100 de grame, conectate printr-un coardă. Lungimea coardei este de 60 cm, iar lățimea coardei este de 30 cm. Care este momentul de inerție al bilei în raport cu axa de rotație? Ignorați masa coardei.

Cunoscut:

Masa bilei = m1 ₌ m2 ₌ m3 ₌ m4 ₌ 100 grame = 100/1000 = 0.1 kg

Distanța dintre bilă și axa de rotație (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Distanța dintre bila 2 și axa de rotație (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Distanța dintre bila 3 și axa de rotație (r3 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Distanța dintre bila 4 și axa de rotație (r4 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Cunoscut: Moment de inerție

soluţie:

Eu = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.036 kg ^m²

Momentul de inerție al unui obiect rigid

5. Care este momentul de inerție al unei tije uniforme de 2 kg cu o lungime de 2 m. Axa de rotație este situată în centrul tijei.

Cunoscut:

Masa tijei (M) = 2 kg

Lungimea tijei (L) = 2 m

Cerut: Moment de inerție

soluţie:

Formula momentului de inerție atunci când axa de rotație este situată în centrul tijei lungi uniforme:

I = (1/12) ^ML²

I = (1/12) (2 kg) ( 2 m) ^²

I = (1/12) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/12)(8 kg ^m² )

I = 8/12 kg ^m²

I = 2/3 kg ^m²

6. Care este momentul de inerție al unei tije uniforme de 2 kg cu o lungime de 2 m? Axa de rotație este situată la un capăt al tijei.

Cunoscut:

Masa tijei (M) = 2 kg

Lungimea tijei rigide (L) = 2 m

Cerut: Moment de inerție

soluţie:

Formula pentru momentul de inerție atunci când axa de rotație este situată la un capăt al tijei:

I = (1/3) ^ML²

I = (1/3) (2 kg) ( 2 m) ^²

I = (1/3) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/3)(8 kg ^m² )

I = 8/3 kg ^m²

7. Un cilindru solid de 10 kg cu o rază de 0.1 m. Axa de rotație este situată în centrul cilindrului solid, așa cum se arată în figura de mai jos. Care este momentul de inerție al cilindrului?

Cunoscut:

Masa cilindrului solid (M) = 10 kg

Raza cilindrului (L) = 0.1 m

Căutat: Momentul de inerție

Căutat: Momentul de inerție

soluţie:

Formula momentului de inerție atunci când axa de rotație este situată în centrul cilindrului:

I = (1/2) ^MR²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ^²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 ^m² )

I = (1/2)(0.1 kg ^m² )

I = 0.05 kg ^m²

8. O sferă uniformă de 20 kg cu lungimea de 0.1 m. Axa de rotație situată în centrul sferei este prezentată în figura de mai jos.

Cunoscut:

Masa sferei (M) = 20 kg

Raza sferei (L) = 0.1 m

Se caută: un moment de inerție

soluţie:

Formula momentului de inerție atunci când axa de rotație este situată în centrul sferei:

I = (2/5) ^MR²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ^²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 ^m² )

I = (2/5)(0.2 kg ^m² )

I = 0.4/5 kg ^m²

I = 0.08 kg ^m²

9. O placă subțire dreptunghiulară de 2 kg, cu o lungime de 0.5 m și o lățime de 0.2 m. Axa de rotație este situată în centrul plăcii dreptunghiulare prezentată în figura de mai jos. Care este momentul de inerție al dreptunghiului?

Cunoscut:

Masa plăcii dreptunghiulare (M) = 2 kg

Lungimea plăcii (a) = 0.5 m

Lățimea plăcii (b) = 0.2 m

Căutat: Moment de inerție

soluţie:

Formula momentului de inerție atunci când axa de rotație este situată în centrul plăcii:

I = (1/12 ) M( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

Eu = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg ^m²