Dinamica mișcărilor de rotație – probleme și soluții

1. Un scripete cu momentul de inerție I = 2/5 MR₂ ^are o masă de 2 kg. Dacă momentul forței asupra scripetelui este de 4 Nm, atunci care este accelerația liniară a scripetelui? Accelerația gravitațională este g = 10 ^ms⁻².

Cunoscut : Dinamica mișcărilor de rotație – probleme și soluții 1

Momentul de inerție al scripetelui (I) = 2/5 ^MR²

Masa scripetelui (M) = 2 kg

Momentul forței (τ) = 4 Nm

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Raza scripetelui (R) = 20 cm = 0.2 m

Cerința: Accelerația liniară (a)

soluţie:

Momentul de inerție al scripetelui (I):

I = 2/5 MR² ⁼ 2/5 (2)(0.2) ^² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg ^m²

Accelerația unghiulară (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Accelerația liniară (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Accelerația liniară a muchiei scripetelui este de 25 ms ^-2.

2. Accelerația scripetelui este de 2 ms⁻² ^. Accelerația gravitațională este g = 10 ms⁻² ^. Care este momentul de inerție al scripetelui?

Cunoscut:

Accelerația liniară a muchiei scripetelui (a) = 2 ms^-2

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Raza scripetelui (R) = 10 cm = 0.1 m

Greutatea obiectului (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Cerut: Momentul de inerție al scripetelui

Vezi si Câmp magnetic în centrul unui arc de curent - probleme și soluții

soluţie:

Momentul forței (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

Accelerația unghiulară a scripetelui (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

Momentul de inerție al scripetelui (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Scripetele a accelerat cu 1 ms ^-2 . Dacă raza scripetelui este de 10 cm, care este momentul de inerție al scripetelui?

Cunoscut:

Accelerația liniară a muchiei scripetelui (a) = 1 ms^-2

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Raza scripetelui (R) = 10 cm = 0.1 m

Forța (F) = 4 N

Cerut: Momentul de inerție al scripetelui

soluţie:

Momentul forței (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Accelerația unghiulară a scripetelui (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

Momentul de inerție al scripetelui (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Care este echivalentul rotațional al masei în mișcare liniară?
- Răspuns: Echivalentul rotațional al masei în mișcare liniară este momentul de inerție, adesea notat ca $I$ .
Cum se leagă cuplul de mișcarea de rotație și cum se compară acesta cu forța în mișcarea liniară?
- Răspuns: Cuplul este echivalentul rotațional al forței. În timp ce forța provoacă o accelerație liniară în obiecte, cuplul provoacă o accelerație unghiulară în corpurile aflate în rotație. Cuplul se calculează ca produsul dintre forța aplicată și distanța perpendiculară de la axa de rotație la punctul de aplicare a forței.
Care este relația dintre accelerația unghiulară, cuplu și momentul de inerție?
- Răspuns: Relația este dată de a doua lege a lui Newton pentru rotație: $τ = I α$ , În cazul în care $τ$ este cuplul, $I$ este momentul de inerție și $α$ este accelerația unghiulară.
Dacă momentul de inerție al unui obiect în rotație crește în timp ce cuplul extern rămâne constant, ce se întâmplă cu accelerația unghiulară?
- Răspuns: Dacă momentul de inerție crește și cuplul extern rămâne constant, accelerația unghiulară va scădea.
Cum sunt analoge conceptele de impuls liniar și impuls cinetic în mișcarea liniară și cea de rotație?
- Răspuns: Impuls liniar (dat de $p = m v$ , În cazul în care $m$ este masa si $v$ este viteza) este produsul dintre masă și viteza liniară, în timp ce momentul cinetic (dat de $L = I ω$ , În cazul în care $I$ este momentul de inerție și $ω$ este viteza unghiulară) este produsul dintre momentul de inerție și viteza unghiulară.
Ce se înțelege prin conservarea momentului cinetic unghiular?
- Răspuns: Conservarea momentului cinetic afirmă că, în absența cuplurilor externe, momentul cinetic cinetic total al unui sistem închis rămâne constant.
De ce se învârt patinatorii artistici mai repede când își strâng brațele în timpul unei piruete?
- Răspuns: Când patinatorii artistici își strâng brațele în față, își reduc momentul de inerție. Datorită conservării momentului cinetic unghiular, atunci când momentul de inerție scade, viteza unghiulară (sau rata de rotație) trebuie să crească pentru a menține momentul cinetic unghiular constant.
Cum se compară energia cinetică de rotație a unui obiect cu energia sa cinetică liniară?
- Răspuns: Energia cinetică de rotație (dată de 1/2 $I ω^{2}$ ) este analogă energiei cinetice liniare (dată de 1/2 $m v^{2}$ ). Prima este asociată cu rotația unui obiect, iar cea de-a doua cu mișcarea sa liniară.
Poate un obiect să aibă simultan energie cinetică rotațională și liniară?
- Răspuns: Da, un obiect poate avea atât energie cinetică de rotație, cât și energie cinetică liniară. De exemplu, o roată care se rostogolește are energie cinetică de rotație datorită mișcării sale de rotație și energie cinetică liniară datorită mișcării sale înainte.
Dacă raza unei roți care se rotește se dublează, menținându-și viteza unghiulară constantă, cum se modifică momentul său de inerție?

Răspuns: Momentul de inerție al unui disc solid este dat de 1/2 $m r^{2}$ , În cazul în care $m$ este masa si $r$ este raza. Dacă raza se dublează și masa rămâne constantă, momentul de inerție va crește de patru ori.