Impuls unghiular

Impuls unghiular

Mărimea mișcării de rotație, care este identică cu masa (m) în mișcarea liniară, este momentul de inerție (I). Mărimea mișcării de rotație, care este identică cu viteza (v) în mișcarea liniară, este viteza unghiulară (ω). Astfel, obiectul în rotație are un moment unghiular care poate fi calculat folosind ecuația:

L = Iω

L = moment cinetic cinetic (kg m² ^/ s), I = moment de inerție (kg m² ⁾ , ω = viteză cinetică cinetică (rad/s)

Probleme de probă ale momentului cinetic

Problema exemplu 1.

O particulă cu o masă de 0.5 grame se mișcă în cerc cu o viteză unghiulară constantă de 2 rad/s. Determinați momentul cinetic al particulei dacă raza traiectoriei particulei este de 10 cm.

Soluţie:

Momentul de inerție al particulei:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁵ kg ^​​m²

Viteza unghiulară a particulei:

ω = 2 rad/s

Momentul cinetic unghiular al particulei:

L = (0.5 x ^10⁻⁵ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

Legea conservării momentului cinetic

Legea conservării momentului cinetic unghiular afirmă că, dacă momentul rezultant al forței asupra unui corp rigid în rotație este zero, atunci momentul cinetic unghiular al corpului rigid în rotație este întotdeauna constant. Legea conservării momentului cinetic unghiular poate fi derivată matematic prin modificarea ecuației celei de-a doua legi a lui Newton asupra momentului cinetic unghiular. Iată ecuația celei de-a doua legi a lui Newton asupra momentului cinetic unghiular:

Dacă momentul rezultant al forței este zero, atunci ecuația de mai sus se schimbă în:

I _t = momentul de inerție final, I _o = momentul de inerție inițial, ω _t = viteza unghiulară finală, ω _o = viteza unghiulară inițială, L _t = momentul unghiular final, L _o = momentul unghiular inițial.

Probleme de probă ale legii conservării momentului cinetic

Problema exemplu 1.

Un disc cilindric solid omogen se rotește inițial în jurul axei sale cu o viteză de 4 rad/s. Masa și raza discului sunt de 1 kg și 0.5 m. Dacă deasupra plăcii este plasat un inel cu masa și raza de 0.2 kg și 0.1 m, iar centrul inelului,

chiar deasupra centrului discului, atunci discul și inelul se vor roti împreună cu viteza unghiulară de...

Soluţie:

Momentul de inerție al unui cilindru solid: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Momentul de inerție al inelului: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Moment cinetic inițial (L1 ₎ = Moment cinetic final ( _L2 )

I₁ _ω₁ = _I₂ ω₂​_​​

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω² ₌ 4 rad/s

Întrebări și răspunsuri conceptuale

1. Ce este momentul unghiular?
   Răspuns: Momentul unghiular este o măsură a gradului de rotație pe care îl are un obiect, luând în considerare masa și forma sa. Este analogul rotațional al momentului liniar.
2. Cum se determină matematic momentul cinetic?
   Răspuns: Momentul unghiular (L) este definit ca $L=r\times p$, În cazul în care $r$ este vectorul de poziție de la axa de rotație până la punctul de aplicare și $p$ este impulsul liniar.
3. Este momentul cinetic o mărime scalară sau vectorială?
   Răspuns: Momentul unghiular este o mărime vectorială.
4. Care este unitatea de măsură a momentului cinetic unghiular în sistemul SI?
   Răspuns: Unitatea de măsură a momentului cinetic în sistemul SI este kilogram-metru pătrat pe secundă (kg·m²/ s).
5. Cum se conservă momentul cinetic?
   Răspuns: Într-un sistem închis fără cupluri externe, momentul cinetic total rămâne constant.
6. Care este principiul conservării momentului cinetic unghiular?
   Răspuns: Principiul afirmă că momentul cinetic unghiular total al unui sistem închis rămâne constant, cu excepția cazului în care acționează un cuplu extern.
7. Cum se leagă rotația unui patinator artistic de momentul cinetic?
   Răspuns: Când un patinator artistic își apropie brațele și picioarele de corp în timpul unei piruete, își scade momentul de inerție, ceea ce îl face să se rotească mai repede. Aceasta demonstrează conservarea momentului cinetic unghiular.
8. Care este relația dintre cuplul și momentul unghiular?
   Răspuns: Cuplu ($\tau$) este rata de variație a momentului cinetic unghiular. Matematic, τ=dL/sec​.
9. Este posibil ca un obiect să aibă moment cinetic fără viteză cinetică?
   Răspuns: Nu, dacă un obiect are moment cinetic unghiular, are viteză unghiulară. Magnitudinea și direcția momentului cinetic unghiular depind atât de momentul de inerție, cât și de viteza unghiulară.
10. Cum afectează momentul de inerție impulsul cinetic?
    Răspuns: Momentul unghiular (L) este produsul dintre momentul de inerție (I) și viteza unghiulară (ω). SUA $L=I\omega$, o creștere a momentului de inerție pentru o anumită viteză unghiulară va crește momentul cinetic unghiular.
11. Care este diferența dintre spin și momentul cinetic orbital în mecanica cuantică?
    Răspuns: Momentul cinetic de spin este o proprietate intrinsecă a particulelor, la fel ca electronii, și nu provine din mișcarea în spațiu. Momentul cinetic orbital, pe de altă parte, provine din mișcarea unei particule în jurul unui punct central.
12. Ce rol joacă momentul cinetic unghiular în formarea sistemelor planetare?
    Răspuns: Pe măsură ce un nor molecular se prăbușește pentru a forma stele și planete, conservarea momentului cinetic face ca materialul să se aplatizeze într-un disc în jurul stelei nou-născute, din care se pot forma planete.
13. Cum își menține un giroscop orientarea în spațiu?
    Răspuns: Un giroscop care se rotește are moment cinetic unghiular. Când un cuplu extern încearcă să-i schimbe orientarea, giroscopul face precesa sau își schimbă axa de rotație într-o direcție perpendiculară cu cuplul aplicat, datorită conservării momentului cinetic unghiular.
14. Ce cauzează precesia unui titirez?
    Răspuns: Precesia într-un titirez este cauzată de cuplul gravitațional care acționează asupra centrului de masă al titirezului, care este decalat față de punctul său de pivotare. Acest cuplu are ca rezultat o schimbare a direcției momentului cinetic al titirezului, provocând precesia acestuia.
15. De ce se aplatizează stelele la polii lor?
    Răspuns: Pe măsură ce stelele se rotesc, ele experimentează o forță centrifugă care împinge materia spre exterior. Acest efect este mai puternic la ecuator decât la poli, ducând la o formă turtită sau aplatizată.
16. Cum este legată momentul cinetic de a doua lege a lui Kepler?
    Răspuns: A doua lege a lui Kepler afirmă că un segment de dreaptă care unește o planetă și Soarele mătură suprafețe egale în intervale egale de timp. Aceasta este o consecință a conservării momentului cinetic cinetic.
17. De ce aterizează o pisică întotdeauna în picioare când cade?
    Răspuns: Pisicile folosesc principiul conservării momentului cinetic. Prin răsucirea corpului și schimbarea momentelor de inerție în aer, se pot reorienta pentru a ateriza pe picioare fără a încălca legile conservării.
18. Cum este legat momentul magnetic de momentul cinetic cinetic în electroni?
    Răspuns: Momentul magnetic al unui electron provine din spinul său și din momentul cinetic orbital. Momentul magnetic este proporțional cu momentul cinetic orbital al electronului.
19. Ce este momentul cinetic în coordonate polare?
    Răspuns: În coordonate polare, impulsul cinetic $L$ pentru o masă punctuală poate fi exprimată ca $L=mrv$, În cazul în care $m$ este masa, $r$ este distanța radială și $v$ este viteza tangențială.
20. Ce se întâmplă cu momentul cinetic unghiular al unui sistem închis atunci când două obiecte se ciocnesc?
    Răspuns: Într-un sistem închis în care două obiecte se ciocnesc, momentul cinetic unghiular total înainte de coliziune este egal cu momentul cinetic total după coliziune, presupunând că nu acționează cupluri externe asupra sistemului.

Probleme și soluții

1. Problemă: O masă punctuală m = 2 kg se mișcă cu o viteză v = 3 m/s într-un cerc cu raza r = 4 m. Calculați momentul său cinetic unghiular în jurul centrului cercului.

Soluție: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg· ^m² /s

2. Problemă: O sferă solidă cu masa de 3 kg și raza de 0.5 m se rotește în jurul diametrului său cu o viteză unghiulară ω = 2 rad/s. Care este momentul său unghiular?

Soluție: Pentru o sferă solidă ^, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problemă: O masă punctuală de 3 kg se mișcă în linie dreaptă cu o viteză de 4 m/s. Care este momentul său cinetic unghiular față de un punct aflat la 5 m distanță de linia sa de mișcare?

Soluţie:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Problemă: Un disc cu masa de 5 kg și raza de 3 m se rotește cu o viteză unghiulară de 2 rad/s. Calculați momentul său unghiular.

Soluție: Pentru ^un disc, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problemă: O tijă cu lungimea de 4 m și masa de 2 kg se rotește în jurul unui capăt cu o viteză unghiulară de 3 rad/s. Calculați momentul său unghiular.

Soluție: ^Pentru o tijă în jurul unui capăt, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problemă: Care este variația momentului cinetic unghiular dacă un corp în rotație își dublează viteza unghiulară?

Soluție: Relația dintre momentul cinetic cinetic (L) și viteza cinetică cinetică (ω) este $L=I\times \omega$ . Dacă ω se dublează, și momentul cinetic cinetic se va dubla.

7. Problemă: Dacă raza unei traiectorii circulare a unei particule în mișcare se dublează, menținând în același timp viteza constantă, cu ce factor se modifică momentul cinetic?

Soluție: Moment unghiular, $L=m\times r\times v$ . Dacă r se dublează, și L se va dubla.

8. Problemă: Un copil cu masa de 30 kg stă la marginea unui carusel care este în repaus. Raza caruselului este de 2 m. Dacă copilul începe să alerge cu o viteză de 2 m/s față de sol de-a lungul marginii, găsiți momentul cinetic unghiular al copilului față de centru.

Soluție: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg· ^m² /s

9. Problemă: Un cilindru cu masa de 6 kg și raza de 2 m se rotește în jurul axei sale centrale cu o viteză unghiulară de 5 rad/s. Calculați momentul său unghiular.

Soluție: Pentru ^un cilindru, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5⁻⁴ = 120 kg·m² ^/ s

10. Problemă: Care va fi noul moment cinetic cinetic al unui corp dacă momentul său de inerție este înjumătățit și viteza sa cinetică este triplată?

Soluție: Având în vedere $L=I\times \omega$ , dacă $I$ ​​este înjumătățit și $\omega$ este triplat, noul $L$ va fi 1/2 × 3 = 1.5 × originalul.

11. Problemă: Un cerc cu masa de 2 kg și raza de 1 m se rotește cu o viteză unghiulară de 4 rad/s. Calculați momentul său unghiular.

Soluție: Pentru ^un cerc, $I=mr²$

$L=I\times \omega$

L=2×1² ^× 4=8 kg ^·m² /s

12. Problemă: Un ventilator are pale cu lungimea de 0.5 m și masa totală de 1 kg. Dacă se rotește cu o viteză unghiulară de 10 rad/s, determinați momentul său cinetic.

Soluție: Presupunând ^că palele ventilatorului sunt ca niște tije care se rotesc în jurul unui capăt, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10⁻⁴ = 0.833 kg·m² ^/ s

13. Problemă: Calculați momentul cinetic unghiular al Pământului în jurul propriei axe datorită rotației sale. Dat fiind: Masa Pământului = 5.972 × 10^ ^{24 kg} , Raza $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 1/0-5\text{rad/s}$.

Soluție: Presupunând ^că Pământul este o sferă solidă, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problemă: Un copil se mișcă spre centrul unei platforme rotative. Momentul cinetic crește, scade sau rămâne același?

Soluție: Momentul cinetic unghiular se conservă. Pe măsură ce copilul se deplasează spre centru, momentul de inerție scade. Pentru a conserva momentul cinetic unghiular, viteza unghiulară crește. Astfel, momentul cinetic unghiular rămâne același.

15. Problemă: Dacă energia cinetică a unui corp în rotație este dublată, cu ce factor se modifică momentul său cinetic unghiular?

Soluție: Energia cinetică K = 1/2 ​I ω² și momentul unghiular $L=I\omega$ . Dacă energia cinetică este dublată și $I$ rămâne constant, $\omega ²$ este dublat. Aceasta implică faptul că $\omega$ este crescut cu un factor de √² ​. Astfel , $L\; crește$^{, de asemenea ,} cu un factor de √² ​.

16. Problemă: O roată de bicicletă cu o rază de 0.3 m are o jantă cu o masă de 1.5 kg. Dacă se rotește cu o viteză unghiulară de 5 rad/s, găsiți momentul său unghiular.

Soluție: Presupunând ^că janta este un cerc, $I=mr²$

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problemă: O patinatoare pe gheață își trage brațele spre interior în timp ce se învârte. Ce se întâmplă cu momentul ei cinetic?

Soluție: Momentul cinetic al patinatoarei se conservă. Prin strângerea brațelor, ea își scade momentul de inerție și, prin urmare, se rotește mai repede (viteză cinetică crescută) pentru a-și conserva momentul cinetic.

18. Problemă: O volantă are un moment de inerție de 0.2 kg.m² ^{kg.m² și} se rotește cu o viteză unghiulară de 10 rad/s. Găsiți momentul său unghiular$\text{.}$

Soluţie:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problemă: Un sistem are un cuplu extern net zero care acționează asupra sa. Ce puteți spune despre momentul său cinetic cinetic?

Soluție: Dacă cuplul extern net este zero, atunci conform conservării momentului cinetic unghiular, momentul cinetic unghiular total al sistemului rămâne constant.

20. Problemă: Un punct cu masa m = 5 kg se mișcă cu o viteză v = 3 m/s perpendiculară pe linia care îl unește cu punctul P. Dacă distanța de la punctul P este de 4 m, calculați momentul său cinetic unghiular în jurul punctului P.

Soluţie:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s