Se numește ecuația Poiseuille deoarece a fost descoperită de regretatul Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). După cum s-a explicat, fiecare fluid poate fi considerat un fluid ideal. Fluidele ideale nu au vâscozitate. Dacă ne imaginăm un fluid ideal care curge într-o țeavă, fiecare parte a fluidului se mișcă cu aceeași viteză (v). Spre deosebire de fluidele ideale, fluidele reale sau fluidele pe care le întâlnim în viața de zi cu zi au vâscozitate. Deoarece au vâscozitate, atunci când curg într-o țeavă, de exemplu, viteza fiecărei părți a fluidului variază. Stratul de fluid din mijloc se mișcă mai repede (v este mare), în timp ce stratul de fluid atașat țevii nu se mișcă, adică rămâne nemișcat (v = 0). Deci, de la centru până la marginea țevii, fiecare parte a fluidului se mișcă cu viteze diferite. Pentru a vă ușura înțelegerea, observați imaginea de mai jos...
Informație :
R = raza țevii/tubului
v1 = debitul fluidului în centrul/ axa tubului
v² = debitul fluidului la o distanță r² de marginea tubului
v⁴ = debitul fluidului la o distanță r⁴ de marginea tubului
v⁴ = debitul fluidului la o distanță r⁴ de marginea tubului
r = distanță
Pentru a asigura același debit al fiecărui fluid, trebuie să existe o diferență de presiune la ambele capete ale oricărei țevi sau tub prin care curge fluidul. Prin fluid, ne referim aici la fluide reale, cum ar fi apa sau uleiul care curge printr-o țeavă, sângele care curge prin vasele de sânge etc. Pe lângă faptul că ajută un fluid real să curgă lin, diferențele de presiune pot permite, de asemenea, fluidelor să curgă în țevi la diferite înălțimi.
Jean Louis Marie Poiseuille, un fost om de știință francez interesat de aspectele fizice ale circulației sângelui uman, a efectuat cercetări pentru a investiga modul în care factori precum diferențele de presiune, aria secțiunii transversale a unui tub și dimensiunea tubului afectează viteza unui fluid real. Rezultatele obținute de Jean Louis Marie Poiseuille sunt cunoscute sub numele de ecuația Poiseuille.
Ecuația Poiseuille poate fi derivată folosind ecuația coeficientului de vâscozitate derivată anterior. Folosim ecuația de vâscozitate deoarece cazul este similar, deși nu identic. Atunci când derivăm ecuația coeficientului de vâscozitate, considerăm curgerea unui strat de fluid real între două plăci paralele, iar fluidul se poate mișca datorită forței de tracțiune (F). Diferența constă în faptul că ecuația Poiseuille pe care o vom deriva indică de fapt factorii care influențează curgerea unui fluid real într-o țeavă/tub, iar fluidul curge datorită diferențelor de presiune. Prin urmare, ecuația coeficientului de vâscozitate trebuie ajustată din nou.
Fluidele pot curge datorită diferențelor de presiune (fluidele curg din locuri cu presiune mare în locuri cu presiune scăzută), așa că înlocuim F cu p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Când derivăm ecuația pentru coeficientul de vâscozitate, considerăm curgerea unui strat real de fluid între două plăci paralele. Fiecare porțiune a fluidului experimentează o schimbare regulată a vitezei cu o distanță l. În acest caz, debitul fluidului se modifică regulat de la axa tubului la marginea acestuia. Fluidul de pe axa tubului curge cu o viteză mai mare (v). Cu cât ne apropiem mai mult de margine, cu atât viteza fluidului scade. Raza tubului = distanța dintre axa tubului și marginea tubului = R. Distanța dintre fiecare porțiune a fluidului și marginea tubului = r. Deoarece numărul fiecărei porțiuni a fluidului este foarte mare și distanța lor față de marginea tubului variază, o scriem pur și simplu astfel:
v1 = viteza fluidului la o distanță r1 de marginea tubului (r1 = R)
v² = viteza fluidului la o distanță r² de marginea tubului (r² < r1)
v3 = viteza fluidului la o distanță r3 de marginea tubului (r3 < r2 < r1)
v4 = viteza fluidului la o distanță r4 de marginea tubului (r4 < r3 < r2 < r1)
…………………………………………… ..
vn = viteza fluidului la o distanță rn de marginea tubului (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Numărul fiecărei părți a fluidului este foarte mare și nu știm exact cât este, așa că este suficient să-l scriem cu simbolul n. Fiecare parte a fluidului experimentează o modificare a vitezei (v) în mod regulat, de la axa tubului (r1 = R) până la marginea tubului (rn). De la axa tubului (r1 = R) până la marginea tubului (rn), viteza fiecărei părți a fluidului devine mai mică (v1 > v2 > v3 > v4 > ... > vn).
Din explicația de mai sus, putem înțelege că de la R la rn, debitul fluidului scade. Lungimea conductei = L. Ecuația obținută este:
Deoarece ceea ce luăm în considerare este rata (v) a curgerii fluidului, ecuația 2 devine:
Aceasta este ecuația pentru debitul fluidului la o distanță r de o țeavă cu raza R. Dacă sunteți confuzi în timp ce priviți imaginea de mai sus... Rețineți că fluidul curge într-o țeavă sau un tub, așa că trebuie să analizăm debitul volumetric al fluidului.
În interiorul tubului se află un fluid. De exemplu, împărțim fluidul în bucăți foarte mici, fiecare bucată având o suprafață unitară dA, fiind distanțată de axa tubului și având un debit v. Matematic, acest lucru poate fi scris după cum urmează:
dA1 = secțiunea fluidului 1, care este la o distanță de 1 față de axa tubului
dA2 = secțiunea fluidului 2, care este la o distanță de 2 față de axa tubului
dA3 = secțiunea fluidului 3, care este la o distanță de 3 față de axa tubului
..................................
dA n = secțiunea fluidului n, care este o distanță dA n față de axa tubului
Există atât de multe bucăți de fluid încât este convenabil să le scriem pur și simplu cu simbolul n. Debitul volumetric al fiecărei bucăți de fluid poate fi scris matematic după cum urmează:
Fiecare bucată de fluid se află la o distanță de r = 0 față de r = R (R = raza tubului). Cu alte cuvinte, distanța fiecărei bucăți de fluid variază atunci când este măsurată față de axa tubului. Dacă facem calcule (integrare), vom obține ecuația pentru debitul volumetric al fluidului în tub:
Informație :
Q = Debit
R = Raza internă a țevii sau tubului
η = Coeficientul de vâscozitate
P1 – p2 = Diferența de presiune dintre cele două capete ale țevii
L = Lungimea țevii
p1 -p2 / L = Gradient de presiune (curgerea fluidului merge întotdeauna în direcția descreșterii presiunii)
Pe baza ecuației Poiseuille de mai sus, rezultă că debitul volumetric al fluidului, cunoscut și sub numele de debit (Q), este proporțional cu puterea a patra a razei tubului (R4 ) , gradientul de presiune (p2 – p1 / L) și este invers proporțional cu vâscozitatea. Dacă raza tubului este mărită (coeficientul de vâscozitate și gradientul de presiune rămân constante), atunci debitul fluidului crește cu un factor de 16.
Conceptul de bază al proiectării țevilor, seringilor și a altor obiecte utilizează această ecuație. Debitul fluidului este proporțional cu R4 ( R = raza tubului). Raza seringii sau raza țevii trebuie calculate cu atenție. De exemplu, dacă dublăm raza acului (r x 2), atunci debitul fluidului care pulverizează crește forța de presiune a degetului mare de 16 ori.
Ecuația lui Poiseuille arată, de asemenea, că puterea a patra a razei (r4 ) este invers proporțională cu diferența de presiune dintre cele două capete ale țevii. De exemplu, inițial sângele curge într-un vas de sânge cu o rază internă de r. Dacă există o îngustare a vasului de sânge (de exemplu, r/2 = raza internă a vasului de sânge este redusă de 2 ori), atunci este necesară o diferență de presiune de 16 ori pentru ca sângele să curgă ca înainte (astfel încât debitul sau debitul volumului de sânge să rămână constant).
