Material pentru ecuația de continuitate
Încercați să deschideți robinetul încet, observând în același timp debitul de apă care iese din robinet. Odată ce robinetul se oprește din rotit, blocați parțial robinetul cu mâna. Acum comparați care debit de apă este mai mare. Când este parțial blocat sau neblocat? Dacă aveți un furtun folosit de obicei pentru udarea florilor, lăsați apa să curgă prin el. Blocați parțial furtunul cu mâna sau cu degetul. Cu cât este mai mult blocată o parte a furtunului, cu atât apa va curge mai repede. În schimb, dacă furtunul nu este blocat, apa va curge mai greu. De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, vă rugăm să studiați ecuația de continuitate.
Conducte de flux și tuburi de curgere
Mai întâi, să înțelegem conceptele de linii de curent și tuburi de curgere. Acest concept este important deoarece vă va ajuta să înțelegeți ecuația de continuitate.
Linie de flux
Uită-te la imaginea de mai jos, linia albastră este Streamline-ul.
În curgerea constantă, viteza fiecărei particule de fluid într-un punct, să zicem punctul A, rămâne constantă. Pe măsură ce trece prin punctul B, viteza particulelor de fluid se poate schimba. Cu toate acestea, la sosirea în punctul B, particulele de fluid care urmează continuă să curgă cu aceeași viteză ca și particulele de fluid care le-au precedat. Același lucru este valabil și la sosirea în punctul C și așa mai departe. Linia de curent este curba care leagă punctele A, B și C.
Tub de curgere
În esență, putem trasa fiecare linie de curent prin fiecare punct din fluxul de fluid. Dacă luăm în considerare un flux de fluid staționar, un număr de linii de curent care trec printr-un anumit unghi pe o suprafață imaginară (aria suprafeței imaginare) formează un tub de curgere. Nicio particulă de fluid nu se intersectează, ci sunt întotdeauna paralele, iar tubul de curgere va semăna cu o țeavă care are întotdeauna aceeași formă. Fluidul care intră pe la un capăt al tubului va ieși din tub pe la celălalt capăt.
Debit
Debitul indică volumul unui fluid care curge printr-o anumită secțiune transversală într-un anumit interval de timp. Matematic, acesta poate fi exprimat după cum urmează:
Pentru a vă aprofunda înțelegerea, să folosim un exemplu. Să presupunem că un fluid curge printr-o țeavă. Țevile sunt de obicei cilindrice și au o anumită secțiune transversală. Țeava are și o lungime.
Când fluidul curge în conductă până la o distanță de L, atunci volumul fluidului din conductă este V = AL (V = volumul fluidului, A = aria secțiunii transversale și L = lungimea conductei). Deoarece în timpul curgerii în conductă de-a lungul L, fluidul parcurge un anumit interval de timp, atunci putem spune că magnitudinea debitului de fluid este:
Deoarece v = s/t = L/t —> L = vt, ecuația de mai sus se modifică astfel:
Astfel, atunci când fluidul curge printr-o conductă care are o anumită secțiune transversală și o anumită lungime pentru un anumit interval de timp, magnitudinea debitului de fluid (Q) este egală cu aria suprafeței secțiunii transversale (A) înmulțită cu viteza de curgere a fluidului (v).
Ecuația de continuitate
Luați în considerare curgerea fluidului într-o țeavă cu diametre diferite, așa cum se arată în figura de mai jos.
Această imagine prezintă curgerea fluidului de la stânga la dreapta (fluidul curge dintr-o țeavă cu diametru mare într-o țeavă cu diametru mic). Liniile punctate reprezintă liniile de curent.
Legendă imagine: A1 = aria secțiunii transversale a secțiunii de țeavă cu diametru mare, A2 = aria secțiunii transversale a secțiunii de țeavă cu diametru mic, v1 = viteza de curgere a fluidului în secțiunea de conductă cu diametru mare, v2 = viteza de curgere a fluidului în secțiunea de conductă cu diametru mic, L = distanța parcursă de fluid.
În introducerea în dinamica fluidelor, s-a explicat că în dinamica fluidelor discutăm despre curgerea fluidelor care sunt incompresibile, nevâscoase, neturbulente și staționare. În curgerea staționară, viteza particulelor de fluid într-un punct este aceeași cu viteza altor particule de fluid care trec prin acel punct. De asemenea, curgerile de fluid nu se intersectează (liniile de curent sunt paralele). Prin urmare, masa fluidului care intră la un capăt al țevii trebuie să fie egală cu masa fluidului care iese pe celălalt capăt. Dacă un fluid cu o anumită masă intră într-o țeavă cu un diametru mare, atunci fluidul va ieși din țeavă cu un diametru mic și cu o masă constantă.
Acum, uită-te la imaginea țevii de mai sus. Uită-te la partea țevii cu diametrul mare și la partea țevii cu diametrul mic.
Într-un anumit interval de timp, o anumită cantitate de fluid curge printr-o secțiune de țeavă cu diametru mare (A).1) până la L1 (L1 = v1 t). Volumul fluidului care curge este V1 = A1 L1 = A1 v1 t. În același interval de timp, o altă cantitate de fluid curge printr-o secțiune de conductă cu un diametru mai mic (A).2) până la L2 (L2 = v2 t). Volumul fluidului care curge este V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Ecuația de continuitate pentru fluide incompresibile (incompresibil)
Mai întâi, să luăm în considerare cazul unui fluid incompresibil. Într-un fluid incompresibil, densitatea sau masa fluidului este întotdeauna aceeași în fiecare punct prin care trece. Masa fluidului care curge într-o conductă cu o secțiune transversală A este1 (diametru mare al țevii) într-un anumit interval de timp este:
În mod similar, masa fluidului care curge într-o conductă cu secțiunea transversală A2 (diametru mic al țevii) într-un anumit interval de timp este:
Considerând că, în regim staționar, masa fluidului care intră este aceeași cu masa fluidului care iese, atunci:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t (densitatea fluidului și intervalul de timp sunt aceleași, deci se anulează)
A1 v1 = A2 v2
Deci, în fluidele incompresibile, se aplică ecuația de continuitate:
A1 v1 = A2 v2 — Ecuația 1
Informație :
A1 = aria secțiunii transversale 1, A2 = aria secțiunii transversale 2, v1 = viteza de curgere a fluidului la secțiunea transversală 1, v2 = viteza de curgere a fluidului la secțiunea transversală 2, A v = debitul volumetric V/t, adică debitul
Ecuația 1 arată că debitul volumetric, cunoscut și sub numele de debit, este întotdeauna același în fiecare punct de-a lungul unei conducte sau tub de curgere. Pe măsură ce secțiunea transversală a conductei scade, debitul fluidului crește; invers, pe măsură ce secțiunea transversală a conductei crește, debitul fluidului scade.
Când închidem parțial robinetul, curgerea apei devine mai rapidă decât atunci când robinetul este parțial închis. Acest lucru se datorează faptului că aria secțiunii transversale a robinetului scade atunci când robinetul este parțial închis, crescând debitul apei (lichidul curge mai repede). Același lucru este valabil și pentru furtunuri. Cu toate acestea, este important de reținut că debitul volumetric sau debitul de refulare rămâne același în toate punctele de-a lungul fluxului de apă, indiferent dacă robinetul este parțial închis sau nu. Așadar, ceea ce se schimbă este debitul fluidului.
Deci, cum rămâne cu debitul apei într-un râu? Secțiunile mai adânci ale unui râu au o secțiune transversală mai mare decât secțiunile mai puțin adânci, așadar debitul apei în secțiunile mai adânci este mai mic decât în secțiunile mai puțin adânci. Dacă observați un debit foarte calm al râului, înseamnă că râul este adânc. Dar dacă râul devine brusc rapid, acea secțiune este cu siguranță puțin adâncă. Cu toate acestea, debitul volumetric al apei este întotdeauna același, indiferent dacă se află în secțiunile adânci sau calme ale râului.
Ecuația de continuitate pentru fluide compresibile (compresibil)
În cazul unui fluid compresibil (compresibil), densitatea unui fluid nu este întotdeauna aceeași. Cu alte cuvinte, densitatea unui fluid se modifică atunci când este comprimat. Dacă eliminăm densitatea fluidului din ecuația pentru un fluid incompresibil, atunci în acest caz densitatea fluidului este totuși inclusă. Folosind ecuația derivată anterior ca ghid, să derivăm ecuația pentru un fluid compresibil.
Considerând că, în regim staționar, masa fluidului care intră este aceeași cu masa fluidului care iese, atunci:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t
Intervalul de timp al curgerii fluidului este același, deci poate fi eliminat. Ecuația se schimbă în:
ρA1 v1 = ρA2 v2 → Ecuația 2
Aceasta este ecuația pentru un fluid compresibil. Singura diferență constă în densitatea fluidului. Când un fluid este comprimat, densitatea sa se modifică. În schimb, când un fluid este incompresibil, densitatea sa rămâne constantă și poate fi anulată.
Exemplu de întrebare 1:
Apa curge printr-o conductă cu diametrul de 10 cm cu o viteză de 2 m/s. Care este debitul apei?
Pembahasan
Se știe că:
Diametrul țevii = 10 cm (acesta este diametrul interior al țevii)
Raza țevii (r) = 5 cm = 0,05 m
v apă = 2 m/s
Întrebat: Debit
Jawab:
Q = A v
Q = (πr)2) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2)(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / cu
Exemplu de întrebare 2:
O conductă de apă cu diametrul de 20 cm este conectată la o altă conductă cu diametrul de 10 cm. Dacă debitul apei în conducta cu diametrul de 20 cm = 4 m/s, care este debitul apei în conducta cu diametrul de 10 cm?
Pembahasan
Se știe că:
Diametrul 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m / s
Diametrul 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Întrebare: v1
Jawab:
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v2
(πr12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v.2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v.2)
v2 = 16 m / s
