Cum se calculează abaterea standard
Abaterea standard este una dintre cele mai frecvent utilizate măsuri statistice pentru a determina cât de „răspândite” sunt datele față de media lor. În viața reală, abaterea standard ne ajută să înțelegem stabilitatea sau variația unui fenomen: de exemplu, variațiile scorurilor la teste, fluctuațiile vânzărilor, diferențele de înălțime și chiar riscurile din datele financiare. Cu cât abaterea standard este mai mică, cu atât datele sunt mai aproape de medie. În schimb, o abatere standard mare indică faptul că datele sunt departe de medie și au o variație ridicată.
Acest articol va discuta semnificația abaterii standard, formula utilizată și pașii pentru calcularea manuală a acesteia prin exemple ușor de înțeles.
1. Definiția abaterii standard
Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței. Varianța în sine este media pătratelor diferențelor dintre fiecare punct de date și medie. De ce se folosește un pătrat? Deoarece diferențele dintre punctele de date și medie pot fi fie negative, fie pozitive. Dacă sunt adunate direct, diferențele negative și pozitive se pot anula reciproc, rezultând rezultate înșelătoare. Prin ridicarea la pătrat a diferențelor, toate valorile devin pozitive, permițând o măsurare mai precisă a distribuției datelor.
Pur şi simplu:
– Varianța = măsura dispersiei în unități „la pătrat”.
– Abaterea standard = o măsură a dispersiei care a revenit la unitățile originale de date.
Exemplu: dacă datele sunt sub formă de scoruri la teste (unități de punct), varianța va fi în puncte, în timp ce abaterea standard va fi din nou în puncte, ceea ce va facilita interpretarea.
2. Abaterea standard a populației vs. eșantion
Înainte de a calcula, este important să știți ce tip de date aveți:
1. Populație: datele includ toți membrii care urmează să fie cercetați.
Formula deviației standard a populației utilizează divizorul N (numărul de date).
2. Eșantion: datele reprezintă doar o parte a populației, de obicei utilizate pentru a reprezenta o populație mai mare.
Formula deviației standard a eșantionului folosește un divizor (n − 1) pentru a corecta eroarea de estimare. Această corecție se numește corecția lui Bessel.
În practica de zi cu zi (de exemplu, cercetare, sondaje, analize de clasă), datele sunt adesea considerate un eșantion, deci divizorul este (n − 1).
3. Formula deviației standard
A. Formula deviației standard a populației
Să presupunem datele: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Media populației:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Varianța populației:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Abaterea standard a populației:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Formula exemplului de deviație standard
Media eșantionului:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Varianța eșantionului:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Abaterea standard a eșantionului:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Pași pentru calcularea manuală a deviației standard
Pentru a fi mai ușor de înțeles, folosim exemplul datelor privind scorurile la examenele a 5 studenți:
Date: 60, 70, 70, 80, 90
Presupunem că aceste date reprezintă un eșantion (obișnuit în exemplele de învățare).
Pasul 1: Calculați media
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Deci, scorul mediu este 74.
Pasul 2: Calculați diferența dintre fiecare dată și medie
Creați o coloană de diferență \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Pasul 3: Ridicați diferența la pătrat
Calculați (x_i – x)^2
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Pasul 4: Adunați pătratele diferențelor
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Pasul 5: Calculați varianța (pentru un eșantion, împărțiți la n − 1)
Deoarece n = 5, atunci n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Deci varianța eșantionului este 130.
Pasul 6: Rădăcina pătrată a varianței pentru a obține abaterea standard
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Deci, abaterea standard a datelor este de aproximativ 11,40. Aceasta înseamnă că, în medie, scorurile elevilor deviază cu aproximativ 11 puncte de la media de 74.
5. Metodă rapidă: Formulă alternativă (calcul)
Pe lângă metoda manuală de mai sus, există o formulă de calcul care este adesea folosită pentru a accelera calculele, mai ales dacă există o mulțime de date:
Varianța eșantionului:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Această formulă evită calcularea diferențelor una câte una, dar necesită totuși precizie la calcularea sumei pătratelor datelor.
Totuși, pentru înțelegerea conceptuală, metoda pas cu pas (diferența → pătratul → suma) este de obicei mai ușoară și mai sigură în ceea ce privește erorile.
6. Interpretarea abaterii standard
Abaterea standard nu se oprește doar la numere, ci trebuie interpretată:
– Abatere standard mică: datele sunt grupate în apropierea mediei, variația este scăzută, rezultatele sunt mai consistente.
– Abatere standard mare: datele sunt dispersate mult față de medie, variația este mare, rezultatele sunt mai puțin consistente.
De exemplu, să presupunem că două clase au același scor mediu, 74. Dacă clasa A are o deviație standard de 5, iar clasa B o deviație standard de 15, atunci scorurile din clasa A sunt mai uniforme și mai stabile. Clasa B are o variație mai mare: unele sunt foarte mici, iar altele sunt foarte mari.
7. Greșeli frecvente
Câteva greșeli frecvente la calcularea abaterii standard:
1. Am uitat să fac diferența între eșantion și populație, deci divizorul este greșit (N vs n − 1).
2. Calcularea greșită a mediei, ceea ce duce la greșeli în toți pașii ulteriori.
3. Uitarea de a ridica diferența la pătrat sau greșeala de a calcula rădăcina pătrată la final.
4. Erori aritmetice la adunarea sau calcularea pătratelor numerelor.
Prevenirea erorilor se poate face prin crearea unui tabel de calcul și verificarea dublă a rezultatelor.
Închidere
Calcularea abaterii standard nu este de fapt dificilă dacă urmați pașii corect: calculați media, găsiți diferența dintre fiecare set de date, ridicați diferențele la pătrat, adunați-le, împărțiți (la n sau n − 1) și apoi calculați rădăcina pătrată. Înțelegând abaterea standard, puteți evalua cât de consistente sunt datele dvs. și câtă variație există.
Dacă doriți, pot crea și exemple suplimentare cu mai multe date, exemple de date grupate (tabele de frecvență) sau cum se calculează abaterea standard folosind Excel/Google Sheets.
