Exemplu de întrebare de discuție despre derivata unei funcții algebrice
Derivata în calcul este un concept fundamental folosit pentru a descrie modul în care o funcție se modifică sau panta unei funcții într-un punct. Derivatele sunt utile în diverse domenii precum fizica, economia și ingineria, deoarece oferă informații despre rata de modificare. În acest articol, vom discuta câteva exemple de derivate ale funcțiilor algebrice și cum să le rezolvăm.
Exemplul 1: Derivata funcției polinomiale
Întrebare: Având în vedere funcția \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Determinați derivata funcției!
Soluţie:
Folosind regula de bază a derivatelor pentru funcțiile polinomiale, și anume \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), vom calcula derivata fiecărui termen al funcției pe rând.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ⋅ 3x^{3-1} – 5 ⋅ 2x^{2-1} + 2 ⋅ 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{aliniere}
\]
Deci, derivata lui (f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7) este (f'(x) = 9x^2 – 10x + 2).
Exemplul 2: Derivata unei funcții cu exponenți fracționari
Întrebare: Determinați derivata funcției \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Soluţie:
Folosind aceeași regulă de derivare, adică \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) & = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{aliniere}
\]
Deci, derivata lui \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2}\) este \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}\).
Exemplul 3: Derivatele funcțiilor exponențiale și trigonometrice
Întrebare: Determinați derivata funcției \(h(x) = e^x \cdot \sin(x)\).
Soluţie:
Pentru a rezolva această derivată, avem nevoie de Regula Produsului, care afirmă (uv)' = u'v + uv'). Presupunem că u(x) = e^x și v(x) = sin(x) atunci:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{deoarece derivata lui } e^x \text{ este } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{deoarece derivata lui } \sin(x) \text{ este } \cos(x).
\end{aliniere}
\]
Folosind regula derivată pentru produse:
\[
\begin{align}
h'(x) & = (e^x ∫sin(x))' \\
& = e^x ∫(sin(x))' + sin(x) ∫(e^x)'
& = e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{aliniere}
\]
Deci, derivata lui (h(x) = e^x \sin(x)) este (h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x))).
Exemplul 4: Derivata unei funcții folosind regula lanțului
Întrebare: Determinați derivata funcției \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Soluţie:
Pentru a rezolva această derivată, avem nevoie de regula lanțului, și anume \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Presupunem \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) și \(f(u) = u^5 \), atunci:
\[
\begin{align}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{deci} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) & = 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{aliniere}
\]
Folosind regula lanțului:
\[
\begin{align}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{aliniere}
\]
Deci, derivata lui (k(x) = (3x^2 – x + 4)^5) este (k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1)).
Exemplul 5: Derivata unei funcții cu identități trigonometrice
Întrebare: Determinați derivata funcției \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Soluţie:
Vom folosi regula derivativei pentru produse. Presupunem că \( u(x) = \sin(x) \) și \( v(x) = \cos(x) \), atunci:
\[
\begin{align}
u'(x) & = ∫cos(x), \\
v'(x) & = -sin(x).
\end{aliniere}
\]
Folosind regula derivată pentru produse:
\[
\begin{align}
m'(x) & = (sin(x) ∫cos(x))' \\
& = (sin(x))' ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (cos(x))' \\
& = cos(x) ∫cos(x) + sin(x) ∫(-sin(x))
& = cos²(x) – sin²(x).
\end{aliniere}
\]
Folosind identitatea trigonometrică \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Deci, derivata lui (m(x) = sin(x)⋅cos(x)) este (m'(x) = cos(2x)).
Concluzie
Derivata unei funcții algebrice este un concept fundamental în calcul, foarte important și util în diverse aplicații. Diverse reguli de derivare, cum ar fi regula de bază a derivației, regula produsului, regula lanțului și regulile pentru derivatele trigonometrice, ajută la calcularea derivatelor funcțiilor mai complexe. Prin înțelegerea exemplelor de mai sus și exersarea problemelor, ne putem îmbunătăți înțelegerea și abilitățile în calcularea derivatelor funcțiilor algebrice.
