Exemple de întrebări și discuții despre aplicarea integralelor în calcularea ariei unui plan plat
În predarea matematicii, integralele sunt adesea întâlnite în calcul. Una dintre cele mai cunoscute aplicații ale integralelor este calcularea ariei de sub o curbă sau un plan. Acest articol va discuta câteva exemple de probleme și va discuta aplicarea integralelor la calcularea ariei unui plan.
Introducere în teorie
Înainte de a trece la problema exemplu, să trecem în revistă conceptul de bază al calculării ariei de sub o curbă folosind integrale. Dacă avem o funcție f(x) care este continuă pe intervalul [a, b], atunci aria de sub curbă y = f(x) de la x = a la x = b este:
L = (a)^{b} f(x) dx
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că însumăm aria unui dreptunghi foarte subțire de la x = a la x = b.
Exemplu Întrebare 1
Întrebare
Calculați aria de sub curba y = x² în intervalul [1, 3].
Pembahasan
Pentru a calcula aria, folosim integrala:
L = (1/3 x³) și dx
Începem prin a găsi primitiva lui \( x^2 \). Antirivada lui \( x^2 \) este \( \frac{x^3}{3} \). Atunci integrala devine:
L = [x^3}{3}]_{1}^3}
Rețineți că trebuie să evaluăm antiderivata pe limitele integralei:
\[ L = ( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = ( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
L = 9 – 1/3
L = 27/3 – 1/3
L = 26/3
Deci, aria de sub curba y = x² de la x = 1 la x = 3 este:
\[ \frac{26}{3} \, \text{unitate de suprafață} \]
Exemplu Întrebare 2
Întrebare
Determinați aria regiunii delimitate de curba y = x³ și liniile x = 1 și x = 2.
Pembahasan
Pentru a calcula aria, folosim integrala:
L = (1/2 x³) și dx
Ca de obicei, începem prin a găsi primitiva lui \( x^3 \). Antirivada lui \( x^3 \) este \( \frac{x^4}{4} \). Integrala devine:
L = [x^4}{4}]_{1}^2}
Evaluați limitele integralei:
\[ L = ( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = ( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
L = 4 – 1/4
L = 16/4 – 1/4
L = 15/4
Deci, aria de sub curba y = x³ de la x = 1 la x = 2 este:
\[ \frac{15}{4} \, \text{unitate de suprafață} \]
Exemplu Întrebare 3
Întrebare
Determinați aria regiunii delimitate de curbele y = x² + 1 și y = 2x + 2 în intervalul de la x = 0 la x = 1.
Pembahasan
Mai întâi, trebuie să găsim punctele de intersecție pentru a determina limitele integrării. Soluția la \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Folosind formula pătratică:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Totuși, pentru limitele superioare și inferioare între 0 și 1, nu este nevoie să folosim soluția pătratică, ci doar limita integrală obișnuită de la 0 la 1. Apoi, calculați aria curbei y superioare minus curba y inferioară conform acestor limite:
L = (0, 1) [(2x + 2) – (x^2 + 1)], dx
Simplificarea funcțiilor:
L = (0, 1) (2x + 2 – x^2 – 1) dx
L = (-x² + 2x + 1) dx
În continuare, găsim antiderivata:
Antiderivata lui \( (-x^2) \) este \( -\frac{x^3}{3} \),
Antiderivata lui \( (2x) \) este \( x^2 \),
Antiderivata lui \( (1) \) este \( x \).
Astfel încât,
L = (-x^3/3 + x^2 + x)|_0^1]
Următoarea evaluare:
L = [-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1] – [-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0]
L = [-\frac{1}{3} + 1 + 1] – [0]
L = -\frac{1}{3} + 2
L = 6/3 – 1/3
L = 5/3
Deci, aria regiunii delimitate de curbele y = x² + 1 și y = 2x + 2 pe intervalul [0, 1] este:
\[ \frac{5}{3} \, \text{unitate de suprafață} \]
-
Din exemplele de mai sus, putem vedea cum integralele pot fi utilizate pentru a calcula aria de sub o curbă sau dintre două curbe. Cu o înțelegere adecvată a conceptelor de bază ale integralelor și tehnicilor antiderivative, calcularea acestor arii devine foarte sistematică și eficientă. Sperăm că acest articol ne-a sporit înțelegerea aplicării integralelor în lumea reală, în special în domeniul măsurării ariei suprafețelor plane.
