Exemple de întrebări despre secvențe aritmetice
Secvențele aritmetice sunt un concept fundamental în matematică, care apare frecvent în diverse examene și aplicații din lumea reală. O secvență aritmetică este o secvență de numere cu o diferență constantă între fiecare doi termeni consecutivi. În acest articol, vom explora conceptul de secvențe aritmetice mai în profunzime prin intermediul mai multor exemple de probleme, însoțite de explicații complete.
Definiții și notații
Înainte de a intra în problemele exemplificative, este important să înțelegem notația adesea utilizată în secvențele aritmetice. Dacă \(a\) este primul termen și \(d\) este diferența comună (diferența constantă), atunci secvența aritmetică poate fi scrisă astfel:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n - 1) d \]
Al n-lea termen (Un) al acestei secvențe poate fi formulat astfel:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Următoarele sunt câteva exemple de întrebări și discuțiile aferente pentru a facilita înțelegerea secvențelor aritmetice.
Exemplu Întrebare 1
Întrebare:
Fiind dată o secvență aritmetică cu primul termen \(a = 5\) și diferența comună \(d = 3\). Determinați al 10-lea termen al secvenței.
Pembahasan:
Folosind formula generală pentru al n-lea termen, și anume \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Deci, al 10-lea termen al șirului este 32.
Exemplu Întrebare 2
Întrebare:
Având în vedere un șir aritmetic al cărui al cincilea termen este 20 și al optulea termen este 35. Determinați primul termen \(a\) și diferența comună \(d\) al șirului.
Pembahasan:
Din întrebare, știm:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Scădem ambele ecuații pentru a elimina \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[3d = 15\]
\[ d = 5 \]
Acum înlocuim \(d = 5\) pentru a găsi \(a\):
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Deci, primul termen al șirului este 0, iar diferența este 5.
Exemplu Întrebare 3
Întrebare:
Care este suma primilor 20 de termeni ai unei secvențe aritmetice al cărei prim termen este \(a = 2\) și diferența comună \(d = 4\)?
Pembahasan:
Suma primilor n termeni ai unei secvențe aritmetice poate fi calculată folosind formula:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Pentru această linie:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 (4 + 76) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800\]
Deci, suma primilor 20 de termeni ai șirului este 800.
Exemplu Întrebare 4
Întrebare:
Al treilea termen al unei secvențe aritmetice este 15, iar al șaptelea termen este 27. Găsiți al 12-lea termen al secvenței.
Pembahasan:
Mai întâi, trebuie să găsim valorile \(a\) și \(d\). Din întrebare, știm:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Scădem ambele ecuații pentru a elimina \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[4d = 12\]
\[ d = 3 \]
Acum înlocuim \(d = 3\) pentru a găsi \(a\):
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Folosind formula celui de-al n-lea termen pentru a găsi al 12-lea termen:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Deci, al 12-lea termen al șirului este 42.
Exemplu Întrebare 5
Întrebare:
O secvență aritmetică cu primul termen \(a\) și diferența comună \(d\) are suma primilor 10 termeni, și anume 55. Dacă \(d = 1\), determinați primul termen \(a\).
Pembahasan:
Având în vedere ∫(d = 1) și ∫(S_{10} = 55). Folosiți formula pentru suma primilor termeni:
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
Pentru n = 10:
S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55
\[5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11\]
\[2a = 2\]
\[ a = 1 \]
Deci, primul termen al șirului este 1.
Concluzie
Secvențele aritmetice sunt un concept fundamental în matematică, extrem de util în diverse domenii. În acest articol, am discutat câteva exemple de secvențe aritmetice și soluțiile acestora. O bună înțelegere a formulelor și a proprietăților de bază ale secvențelor aritmetice va fi foarte utilă în rezolvarea diferitelor tipuri de probleme legate de acest subiect.
Prin exersarea unor exemple precum cele de mai sus, se speră că veți deveni mai pricepuți și mai rapizi în rezolvarea problemelor care implică secvențe aritmetice.
