Princípio do trabalho-energia mecânica – problemas e soluções

1. Uma caixa de 2 kg desacelera de 10 m/s até parar. O coeficiente de atrito cinético é 0.2. A aceleração da gravidade é 10 m/s² ^. Qual é a magnitude do deslocamento?

Conhecido ;

Massa (m) = 2 kg

Velocidade inicial (v _o ) = 10 m/s

Velocidade final (v _t ) = 0 m/s

O coeficiente de atrito cinético ( _μk ) = 0.2

Peso (w) = mg = (1 kg)(10 m/ ^s² ) = 10 kg m/s² ⁼ 10 N

Procura-se: a magnitude do deslocamento (d)

solução:

O princípio do trabalho-energia mecânica :

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

Wnc = trabalho realizado por uma força não conservativa _{que atua} sobre o objeto

ΔEK = a variação da energia cinética

ΔEP = a variação da energia potencial

m = massa

v = velocidade

g = aceleração devido à gravidade

h = a variação na altura

A variação de altura h = 0, portanto ΔEP = 0.

W _nc = ΔEK

Trabalho realizado por força não conservativa:

W _nc = -F _c d = – μ _k N d = – μ _k wd = – μ _k mgd

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

O sinal negativo indica que a direção da força de atrito cinético é oposta à direção do deslocamento.

A variação da energia cinética:

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

A magnitude do deslocamento:

W _nc = ΔEK

– 4 s = – 100

s = -100/-4

s = 25 m

2. Um bloco desliza por um plano inclinado. O coeficiente de atrito cinético é 0.4. A aceleração da gravidade é g = 10 m/ ^s² . Determine a velocidade final do bloco ao atingir o solo.

Conhecido :

Altura inicial (h _o ) = 6 m

Altura final (h _t ) = 0 m

Velocidade inicial (v _o ) = 0

O coeficiente de atrito cinético ( _μk ) = 0.4

A aceleração da gravidade (g) = 10 m/ ^s²

cos θ = 8/10

A componente vertical do peso = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

Força normal = N = w _y = 8 m

Força de atrito cinético = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

Procura-se: Velocidade final (v _t )

solução:

O princípio do trabalho-energia mecânica:

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

A variação da energia cinética:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - v_o²) = 1/2 m (v_t² - 0) = 1/2 mv_t²

A variação da energia potencial:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

Trabalho realizado pela força de atrito cinético:

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

O sinal negativo indica que a direção da força de atrito cinético é oposta à direção do deslocamento.

A velocidade final (v _t ):

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 m = m (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

3. Um bloco desliza por um plano inclinado rugoso. A velocidade inicial é 0 m/s e a velocidade final é 10 m ^/s . Se a força de atrito cinético é 2 N e a aceleração da gravidade é g = 10 m/ ^s² , qual é a altura (h)?

Conhecido :

Massa (m) = 1 kg

Velocidade inicial (v _o ) = 0 (repouso do bloco)

Velocidade final (v _t ) = 10 ms ^-1

Altura inicial (h _o ) = h

Altura final (h _t ) = 0

Força de atrito cinético (f _k ) = 2 N

A aceleração da gravidade (g) = 10 m/ ^s²

Procura-se: Altura (h)

solução:

Trabalho realizado pela força de atrito cinético:

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

O sinal negativo indica que a direção da força de atrito cinético é oposta à direção do deslocamento.

A variação da energia cinética:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - v_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

A variação da energia potencial:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

O princípio do trabalho-energia mecânica:

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 h

10 h = 50 + 30

10 h = 80

h = 80/10

h = 8 m

4Se um bloco se move para baixo em um plano aproximadamente inclinado, então…
A. O trabalho realizado pela força da gravidade sobre o bloco é maior que a variação da energia potencial do bloco.
B. A energia mecânica aumenta
C. A quantidade de energia cinética e sua energia potencial são reduzidas.
D. O trabalho é realizado pela força de atrito, que é igual à variação da energia cinética do bloco.
Solução

A está errado

O trabalho realizado pela força da gravidade sobre o bloco é igual à variação da energia potencial gravitacional do bloco.

B está errado

Se o plano inclinado for liso, a energia mecânica do bloco é constante. Quando o bloco está no topo do plano inclinado e ainda não se move, sua energia mecânica é igual à energia potencial gravitacional. O bloco ainda está em repouso, portanto sua energia cinética é zero. Ao descer o plano inclinado, a altura do bloco diminui, assim como sua energia potencial gravitacional. A energia potencial gravitacional diminui porque se transforma em energia cinética. Embora a energia potencial gravitacional se transforme em energia cinética, a energia mecânica permanece constante.

Se o plano inclinado for áspero, a energia mecânica do bloco diminui devido ao trabalho negativo realizado pela força de atrito. A força de atrito é uma força não conservativa. O trabalho realizado por uma força não conservativa sobre um objeto causa a diminuição da energia mecânica desse objeto.

A letra C está correta.

O plano inclinado é áspero, portanto existe uma força de atrito que dificulta o movimento do bloco. A força de atrito é uma força não conservativa. O teorema trabalho-energia mecânica afirma que o trabalho realizado por uma força não conservativa (por exemplo, a força de atrito) é igual à variação da energia mecânica. Neste caso, a energia mecânica está diminuindo.

A energia mecânica do bloco é igual à energia potencial gravitacional mais a energia cinética.

A opção D está errada.

O trabalho realizado pela força de atrito sobre o bloco é igual à variação da energia mecânica do bloco, e não à variação da sua energia cinética. É verdade que a força de atrito dificulta o movimento do bloco, diminuindo sua velocidade e, consequentemente, sua energia cinética. No entanto, a energia cinética do bloco provém da energia potencial gravitacional. Portanto, é correto afirmar que o trabalho realizado pela força de atrito é igual à variação da energia mecânica (a energia mecânica diminui).

A resposta correta é C.

5. Um objeto sobre um piso áspero é atingido, movendo-se por 3 segundos e parando em seguida. Sabendo que a massa do objeto é de 10 gramas, a força de atrito entre o objeto e o piso é de 2 quilodinas. Determine o trabalho realizado pela força de atrito.

A. 0.18 J

B. -0.18 J

C. 0.36 J

D. -0.36 J

Conhecido :

Intervalo de tempo (t) = 3 segundos

Velocidade final (v _t ) = 0 m/s (objeto em repouso)

Massa do objeto (m) = 10 gramas = 10/1000 kg = 1/100 kg = 0.01 kg

Força de atrito (F) = 2 quilodinas = 2 x 10 ³ dinas

Procura-se: Trabalho (W) realizado pela força de atrito

solução:

Conversão de unidades de força:

1 Newton = 1 x ^10⁵ dina

1 dina = 1 / 10 ⁵ Newtons = 1 x 10 ^-5 Newtons = 10 ^-5 Newtons

Força de atrito (F) = 2 x 10³ ^dina = 2 x 10³ ^x 10⁻⁵ ^Newton = 2 x ^10⁻² Newton = 2/100 Newton = 0.02 Newton

O teorema trabalho-energia mecânica afirma que o trabalho realizado por uma força não conservativa sobre um objeto é igual à variação da energia mecânica desse objeto.

Se um objeto se move em um plano inclinado, então a energia mecânica (EM) é igual à energia potencial gravitacional (EP) mais a energia cinética (EC). Mas se o objeto se move em um plano horizontal, sem variação de altura, a energia mecânica é igual à energia cinética. No plano horizontal, a energia potencial gravitacional é zero porque não há variação de altura.

A força de atrito é uma força não conservativa. Ela geralmente diminui a velocidade e a energia cinética do objeto. Podemos concluir que o trabalho realizado pela força de atrito sobre um objeto é igual à diminuição de sua energia mecânica.

Matematicamente:

Trabalho (W) = Variação da energia mecânica (ΔEM)

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— Equação 1

Descrição: F = força de atrito, d = deslocamento, m = massa, v₀ ₌ velocidade inicial

O deslocamento (d) e a velocidade inicial (v _o ) ainda não são conhecidos, pois primeiro é necessário calcular v _o ou d. O trabalho realizado pela força de atrito é calculado usando uma das equações após se conhecer v _o ou d.

A equação do deslocamento (d) no movimento linear não uniforme:

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

A velocidade final (v _t ) = 0 e a aceleração (a) tem sinal negativo porque o objeto está sendo desacelerado (a velocidade do objeto está diminuindo).

0 = v_o² – 2 anúncios

v_o² = 2 ad

d = v _o ² / 2 a ———— Equação 2

Substitua d na equação 2 por d na equação 1:

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ m

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 Newtons / 0.01 quilogramas

a = – 2 Newton/quilograma

a = – 2 m/ ^s²

Equação para calcular a velocidade inicial (v _o ) em movimento linear não uniforme:

v _t = v _o + at —–> Velocidade final (v _t ) = 0, Aceleração (a) = 2 m/s ² , intervalo de tempo (t) = 3 segundos

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v _o = 6 metros/segundo

Trabalho (W) realizado pela força de atrito:

W = – ½ mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = – 0.18 Joule

O trabalho realizado pela força de atrito tem sinal negativo, o que significa que o trabalho diminui a energia mecânica do objeto.

Se d for conhecido, o trabalho pode ser calculado usando a equação W = F d.

A resposta correta é b.

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