Como calcular o desvio padrão
O desvio padrão é uma das medidas estatísticas mais frequentemente utilizadas para determinar o quão "dispersos" os dados estão em relação à sua média. Na vida real, o desvio padrão nos ajuda a compreender a estabilidade ou a variação de um fenômeno: por exemplo, variações em notas de provas, flutuações de vendas, diferenças de altura e até mesmo os riscos em dados financeiros. Quanto menor o desvio padrão, mais próximos os dados estão da média. Por outro lado, um desvio padrão grande indica que os dados estão distantes da média e apresentam alta variação.
Este artigo abordará o significado do desvio padrão, a fórmula utilizada e os passos para calculá-lo manualmente através de exemplos fáceis de entender.
1. Definição de Desvio Padrão
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A variância, por sua vez, é a média dos quadrados das diferenças entre cada ponto de dados e a média. Por que usar o quadrado? Porque as diferenças entre os pontos de dados e a média podem ser negativas ou positivas. Se somadas diretamente, as diferenças negativas e positivas podem se anular, resultando em resultados enganosos. Ao elevar as diferenças ao quadrado, todos os valores se tornam positivos, permitindo uma medição mais precisa da distribuição dos dados.
Simplesmente:
– Variância = medida de dispersão em unidades “quadradas”.
– Desvio padrão = uma medida da dispersão dos dados que retornaram às suas unidades originais.
Exemplo: se os dados estiverem na forma de notas de teste (unidades de ponto), a variância estará em pontos, enquanto o desvio padrão também estará em pontos, facilitando a interpretação.
2. Desvio Padrão Populacional vs. Desvio Padrão Amostral
Antes de calcular, é importante saber que tipo de dados você possui:
1. População: os dados incluem todos os membros que serão pesquisados.
A fórmula do desvio padrão populacional utiliza o divisor N (número de dados).
2. Amostra: os dados representam apenas uma parte da população, geralmente usados para representar uma população maior.
A fórmula do desvio padrão da amostra usa um divisor (n − 1) para corrigir o viés de estimativa. Essa correção é chamada de correção de Bessel.
Na prática diária (por exemplo, pesquisa, levantamentos, análise de classe), os dados são frequentemente considerados uma amostra, portanto o divisor é (n − 1).
3. Fórmula do Desvio Padrão
A. Fórmula do desvio padrão da população
Suponha que os dados sejam: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Média populacional:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Variância populacional:
\[
σ² = ∑ᵢ₌₁ᵀ(xᵢ – μ)²/N
\]
Desvio padrão da população:
\[
σ = √σ²
\]
B. Fórmula do Desvio Padrão da Amostra
Média da amostra:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Variância da amostra:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Desvio padrão da amostra:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Passos para calcular o desvio padrão manualmente
Para facilitar a compreensão, usaremos como exemplo os dados das notas de exame de 5 alunos:
Dados: 60, 70, 70, 80, 90
Considere que esses dados são uma amostra (comum em exemplos de aprendizado).
Passo 1: Calcule a média
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Portanto, a pontuação média é 74.
Etapa 2: Calcule a diferença entre cada dado e a média.
Crie uma coluna de diferença \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Passo 3: Eleve a diferença ao quadrado
Calcule \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Passo 4: Some os quadrados das diferenças
\[
∑ (x_i – x̄)^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Etapa 5: Calcule a variância (para uma amostra, divida por n − 1)
Como n = 5, então n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Portanto, a variância da amostra é 130.
Passo 6: Extrair a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Assim, o desvio padrão dos dados é de aproximadamente 11,40. Isso significa que, em média, as notas dos alunos se desviam em aproximadamente 11 pontos da média de 74.
5. Método rápido: Fórmula alternativa (Cálculo)
Além do método manual acima, existe uma fórmula computacional que é frequentemente usada para acelerar os cálculos, especialmente quando há muitos dados:
Variância da amostra:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Essa fórmula evita o cálculo das diferenças uma a uma, mas ainda exige precisão ao calcular a soma dos quadrados dos dados.
No entanto, para a compreensão conceitual, o método passo a passo (diferença → quadrado → soma) geralmente é mais fácil e menos propenso a erros.
6. Interpretação do Desvio Padrão
O desvio padrão não se resume apenas a números, mas precisa ser interpretado:
– Pequeno desvio padrão: os dados estão agrupados perto da média, a variação é baixa e os resultados são mais consistentes.
– Grande desvio padrão: os dados estão muito dispersos em relação à média, a variação é alta e os resultados são menos consistentes.
Por exemplo, suponha que duas turmas tenham a mesma média, 74. Se a turma A tem um desvio padrão de 5 e a turma B um desvio padrão de 15, então as notas na turma A são mais uniformes e estáveis. A turma B apresenta maior variação: algumas notas são muito baixas e outras muito altas.
7. Erros Comuns
Alguns erros comuns no cálculo do desvio padrão:
1. Esqueci de diferenciar entre amostra e população, então o divisor está errado (N vs n − 1).
2. Cálculo incorreto da média, o que resulta em erros em todas as etapas subsequentes.
3. Esquecer de elevar a diferença ao quadrado ou cometer um erro ao calcular a raiz quadrada no final.
4. Erros aritméticos ao somar ou calcular quadrados de números.
É possível evitar erros criando uma tabela de cálculos e verificando os resultados duas vezes.
Fechando
Calcular o desvio padrão não é realmente difícil se você seguir os passos corretamente: calcule a média, encontre a diferença entre cada conjunto de dados, eleve as diferenças ao quadrado, some-as, divida (por n ou n − 1) e, em seguida, calcule a raiz quadrada. Ao entender o desvio padrão, você pode avaliar a consistência dos seus dados e a quantidade de variação presente.
Se desejar, posso também criar exemplos adicionais com mais dados, exemplos de dados agrupados (tabelas de frequência) ou exemplos de como calcular o desvio padrão usando o Excel/Google Sheets.
