Exemplo de uma questão para discussão sobre a derivada de uma função algébrica
A derivada, em cálculo, é um conceito fundamental usado para descrever como uma função muda, ou a inclinação de uma função em um determinado ponto. As derivadas são úteis em diversas áreas, como física, economia e engenharia, porque fornecem informações sobre a taxa de variação. Neste artigo, discutiremos vários exemplos de derivadas de funções algébricas e como resolvê-las.
Exemplo 1: Derivada de uma função polinomial
Questão: Dada a função \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Determine a derivada da função!
Solução:
Usando a regra básica das derivadas para funções polinomiais, ou seja, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), calcularemos a derivada de cada termo da função um por um.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
Portanto, a derivada de \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) é \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Exemplo 2: Derivada de uma função com expoentes fracionários
Questão: Determine a derivada da função \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Solução:
Usando a mesma regra de derivação, ou seja, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
Portanto, a derivada de \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) é \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Exemplo 3: Derivadas de funções exponenciais e trigonométricas
Questão: Determine a derivada da função \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Solução:
Para resolver essa derivada, precisamos da Regra do Produto, que afirma que \((uv)' = u'v + uv'\). Suponha que \( u(x) = e^x \) e \( v(x) = \sin(x) \), então:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{porque a derivada de } e^x \text{ é } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{porque a derivada de } \sin(x) \text{ é } \cos(x).
\end{align }
\]
Utilizando a regra derivada para produtos:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
Portanto, a derivada de \( h(x) = e^x \sin(x) \) é \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Exemplo 4: Derivada de uma função usando a regra da cadeia
Questão: Determine a derivada da função \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Solução:
Para resolver essa derivada, precisamos da regra da cadeia, ou seja, \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Suponha que \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) e \( f(u) = u^5 \), então:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{então} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
Utilizando a regra da cadeia:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
Portanto, a derivada de \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) é \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Exemplo 5: Derivada de uma função com identidades trigonométricas
Questão: Determine a derivada da função \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Solução:
Usaremos a regra da derivada para produtos. Suponha que \( u(x) = \sin(x) \) e \( v(x) = \cos(x) \), então:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
Utilizando a regra derivada para produtos:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
Usando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Portanto, a derivada de \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) é \( m'(x) = \cos(2x) \).
Conclusão
A derivada de uma função algébrica é um conceito fundamental em cálculo, muito importante e útil em diversas aplicações. Várias regras de derivação, como a regra básica da derivada, a regra do produto, a regra da cadeia e as regras para derivadas trigonométricas, auxiliam no cálculo das derivadas de funções mais complexas. Ao compreender os exemplos acima e praticar exercícios, podemos aprimorar nossa compreensão e habilidades no cálculo de derivadas de funções algébricas.
