Exemplos de perguntas e discussão sobre a correlação de Pearson
A Correlação Produto-Momento, também conhecida como Correlação de Pearson, é um método estatístico utilizado para medir a força e a direção de uma relação linear entre duas variáveis. Este método é útil em diversas áreas, desde pesquisa acadêmica e análise de negócios até a avaliação de experimentos nas ciências naturais. Este artigo discutirá vários exemplos e suas soluções para o cálculo da Correlação Produto-Momento.
Introdução
Antes de analisarmos os exemplos, é importante compreender o conceito básico de Correlação de Pearson. A fórmula geral utilizada para calcular o coeficiente de correlação de Pearson (r) é:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Onde:
– \( n \) é o número de pares de dados.
– \( \sum{XY} \) é a soma dos produtos de \( X \) e \( Y \).
– \( \sum{X} \) é a soma das variáveis \( X \).
– \( \sum{Y} \) é a soma das variáveis \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) é a soma dos quadrados da variável \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) é a soma dos quadrados da variável \( Y \).
O coeficiente de correlação de Pearson (r) está sempre entre -1 e 1. Uma correlação positiva indica que ambas as variáveis se movem na mesma direção, enquanto uma correlação negativa indica que, à medida que uma variável aumenta, a outra diminui. Se r = 0, então não há correlação linear entre as duas variáveis.
Exemplo de pergunta 1
Dados
A seguir, apresentamos os dados das notas dos exames de matemática e física de 5 alunos:
| Estudante | Matemática (X) | Física (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Passos para resolver
1. Cálculo dos componentes importantes:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Insira na fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Cálculo dos resultados:
– Numerador: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Assim, o coeficiente de correlação de Pearson entre as pontuações dos testes de matemática e física é de 0.633, o que indica que existe uma correlação positiva moderada entre as duas variáveis.
Exemplo de pergunta 2
Dados
A seguir, são apresentados dados sobre o valor das vendas e os gastos com publicidade de uma empresa durante um período de 6 meses:
| Mês | Publicidade (X) | Vendas (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Passos para resolver
1. Cálculo dos componentes importantes:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Insira na fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Cálculo dos resultados:
– Numerador: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Assim, o coeficiente de correlação de Pearson entre o gasto com publicidade e o valor das vendas é de 0.981, o que indica que existe uma correlação positiva muito forte entre as duas variáveis.
Conclusão
O coeficiente de correlação de Pearson (r) é uma ferramenta muito útil para compreender a relação linear entre duas variáveis. Nos exemplos fornecidos, veremos como calcular o valor de r e interpretá-lo. Uma correlação mais alta (mais próxima de 1 ou -1) indica uma relação mais forte, enquanto uma correlação mais baixa (mais próxima de 0) indica uma relação mais fraca. É importante observar que correlação não implica causalidade; ela simplesmente indica que existe uma relação entre as duas variáveis.
