ویکتورونه عادي شمېرې نه دي، نو عادي ضرب په مستقیم ډول په دوی باندې نشي پلي کیدی. موږ باید د ویکتور ضرب څخه کار واخلو. د ویکتور ضرب دوه ډولونه شتون لري: د نقطې ضرب او د کراس ضرب. د نقطې ضرب ته د سکالر ضرب هم ویل کیږي ځکه چې دا د سکالر مقدار تولیدوي. کراس ضرب ته د ویکتور ضرب هم ویل کیږي ځکه چې دا د ویکتور مقدار تولیدوي. د مثال په توګه، دوه ویکتورونه شتون لري، یعنې A dan B. د ویکتورونو پیمانه ضرب A dan B سره ویل شوي اې بي کڅرنګه چې ارینا د نقطې نوټیشن کاروي، نو دا ضرب بلل کیږي د ټکي محصولد ویکتور ضرب A dan B سره ویل شوي A x ب. ځکه چې دا د نښې نښانې کاروي x، نو دا ضرب د متقابل ضرب په نوم یادیږي.
د مثال په توګه، د ویکتور په پام کې نیولو سره A dan B لکه څنګه چې په لاندې انځور کې ښودل شوي. د ویکتورونو ترمنځ د نقطې محصول A dan B لیکل شوی لکه اې بي (A ټکی B).
د ویکتورونو د نقطې محصول تعریفولو لپاره A dan B ((ب)، انځور شوی ویکتور A او ویکتورونه د y لخواکوم چې زاویه جوړوي θ. بیا موږ د ویکتور پروجیکشن رسم کوو B د ویکتور لوري ته Aدا پروجیکشن د ویکتور یوه برخه ده B کوم چې د ویکتور سره موازي دی A، کوم چې د B کاس θ.
په دې توګه، موږ تعریف کوو اې بي د لوی ویکتور په توګه A د ویکتور اجزاو سره ضرب شوی B کوم چې موازي دی Aپه ریاضيکي لحاظ موږ دا په لاندې ډول لیکلی شو:
AB کاس θ دا یو عادي عدد (scalar) دی. له همدې امله، د نقطې محصول ته د scalar محصول هم ویل کیږي. څه به وي که چیرې د ویکتورونو ترمنځ د نقطې محصول A dan B بدل شوی BA مخکې له دې چې موږ تعریف کړو BAلومړی موږ د ویکتور پروجیکشن رسم کوو A ویکتورونو ته ب (لاندې انځور وګورئ).
د دې انځور پر بنسټ، موږ کولی شو تعریف کړو BA د لوی ویکتور په توګه B د ویکتور اجزاو سره ضرب شوی A کوم چې موازي دی Bپه ریاضيکي لحاظ موږ دا په لاندې ډول لیکلی شو:
د ټکي محصول پایله اې بي = AB کاس θ او د نقطې محصول پایله BA = BA کاس θ. ځکه چې AB کاس θ = BA کاس θ، بیا دا پلي کیږي اې بي = BA
د ټکي ضرب په اړه ځینې شیان چې تاسو ورته اړتیا لرئ پوه شئ:
۱. د نقطې محصول د بدلون قانون پوره کوي.
AB = BA
۲. د نقطې محصول د ویش قانون پوره کوي.
الف. (ب + ج) = AB + AC
۳. که چیرې ویکتورونه A او B یو بل ته عمودي وي، نو د نقطې محصول AB = 0
کله چې ویکتور A dan B که چیرې یو بل ته عمودي وي، نو جوړه شوې زاویه 90 دهo. کاس ۹۰o = 0. په دې توګه: اې بي = AB کاس چاچی = AB کاس ایکس اینوم ایکسo = 0. له بلې خوا، BA = BA کاس چاچی = BA کاس ایکس اینوم ایکسo = 0
۴. که چیرې ویکتور A او ویکتور B په ورته لوري کې وي ، نو AB = AB cos 0 o = AB
کله چې ویکتور A dan B په ورته لوري کې، نو جوړ شوی زاویه 0 دهo. Cos 0 = 1. په دې توګه، اې بي = AB کاس چاچی = AB کاس ایکس اینوم ایکسo = ABبرعکس BA = BA کاس چاچی = BA کاس ایکس اینوم ایکسo = BA
(تاسو باید د AB dan BAلوی AB = لوی BA. د مثال په توګه، د ویکتور شدت A = ۲. د ویکتور اندازه B = ۳. بیا اې بي = ۲.۳ = ۶؛ دا ورته دی لکه BA = 3.2 = 6.
۵. د دوو ویکتورونو لپاره یو بل شرط چې په ورته لوري کې وي، که A = B وي نو موږ AA = A 2 یا BB = B 2 ترلاسه کوو.
۶. که چیرې ویکتورونه A او B په مخالفو لارښوونو کې وي (کله چې دوه ویکتورونه په مخالفو لارښوونو کې وي، نو جوړ شوی زاویه 180º ده) ، نو د ضرب پایله AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB ده.
کاس ۱۸۰º = -۱.
د ستونزو مثال:
د A ویکتور د 4 واحدونو شدت لري او د B ویکتور د 3 واحدونو شدت لري. که چیرې د دوو ویکتورونو لخوا جوړ شوي زاویې 60º، 90º او 180º وي نو د دوو ویکتورونو د نقطې محصول معلوم کړئ.
بحث
څرنګه چې AB = BA ، موږ کولی شو د یو څخه کار واخلو. د مثال په توګه، موږ AB کاروو
AB = AB کاز تیټا
د A اندازه = 4 واحدونه او د B اندازه = 3 واحدونه.
