په انټیګرلز کې د ټراپیزایډل میتود

په انټیګرلز کې د ټراپیزایډل میتود

په تطبیقي ریاضي کې، موږ ډیری وخت د یوې منحني لاندې ساحې محاسبه کولو ستونزې سره مخ کیږو. په تیوري کې، دا د مشخصو بشپړو په کارولو سره حل کیدی شي. په هرصورت، په عمل کې، ټول فعالیتونه په اسانۍ سره په تحلیلي ډول مدغم نه کیږي. ځینې دندې پیچلې دي، معلومات یوازې په جدول بڼه کې شتون لري، یا ماډلونه ساده انټي ډیریویټیو نلري. په داسې شرایطو کې، عددي میتودونه اړین کیږي. یو له خورا مشهور او ډیری وخت کارول شوي عددي میتودونو څخه د ټراپیزایډل قاعده ده، د انټیګرلز لپاره د نږدې کولو تخنیک چې د منحني لاندې ساحه په ټراپیزایډل شکلونو ویشي.

د قطعي بشپړتیا اساسي مفهوم

په هندسي لحاظ، ټاکلی بشپړتیا \(\int_a^bf(x)\,dx\) د هغه ساحې په توګه درک کیدی شي چې د منحني \(y=f(x)\)، \(x\) محور، او عمودي کرښو \(x=a\) او \(x=b\) لخوا تړل شوې وي. که \(f(x)\ge 0\)، بشپړتیا یوه مثبته ساحه ده. که چیرې فعالیت په یو ټاکلي وقفه کې منفي ارزښتونه ولري، بشپړتیا "لاسلیک شوې ساحه" ورکوي.

اصلي ستونزه هغه وخت رامنځته کېږي کله چې:
۱. فنکشن \(f(x)\) هیڅ ضد مشتق نلري چې د لومړني افعالو لخوا څرګند شي.
۲. د \(f(x)\) ارزښت یوازې په ځینو نقطو کې پیژندل کیږي (تجربوي معلومات).
۳. سمبولیک محاسبه غیر موثره یا ناممکنه ده.

دا هغه ځای دی چې د ټراپیزایډل میتود د ځانګړو نقطو کې د فعالیت ارزښتونو په کارولو سره د بشپړ ارزښت نږدې کولو لپاره کارول کیږي.

د ټراپیزایډل میتود نظریه

د ټراپیزایډل میتود د یوې ساده مفکورې سره پیل کیږي: په هر فرعي وقفه کې د مستقیم کرښې سره یو منحنی اټکل کول. پداسې حال کې چې د ریمان سم میتود عمودي اړخونه او مستطیل ساحه کاروي، د ټراپیزایډل میتود په فرعي وقفه کې دوه پای ټکي کاروي او دوی د مستقیم کرښې سره نښلوي. د مستقیم کرښې لاندې ساحه یو ټراپیزایډ جوړوي، نه مستطیل.

فرض کړئ چې موږ غواړو محاسبه وکړو:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
موږ وقفه \([a,b]\) د مساوي اوږدوالي په \(n\) فرعي وقفو ویشو. د هرې فرعي وقفې اوږدوالی دا دی:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
د وېش ټکي:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\ټکې,\;x_n=b
\]
د فعالیت ارزښتونو سره:
\[
f(x_0)، f(x_1)، \ټکي، f(x_n)
\]

په هر فرعي وقفه \([x_{i-1}, x_i]\) کې، د منحني لاندې ساحه د trapezoid د ساحې سره نږدې کیږي:
\[
A_i \تقریبا \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
بیا ټول مساحت (انضمام نږدې والی) د ټولو ټراپیزایډونو په اضافه کولو سره ترلاسه کیږي:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \تقریباً \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\کیڼ [f(x_{i-1}) + f(x_i)\ښي]
\]

که چیرې تنظیم شي، د مرکب ټراپیزایډل قاعدې فورمول کیږي:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
د ضریب نمونې ته پام وکړئ: د پای ټکي \(x_0\) او \(x_n\) د 1 سره ضرب کیږي، پداسې حال کې چې په مینځ کې ټکي د 2 سره ضرب کیږي.

د ساده محاسبې مثال

فرض کړئ چې موږ غواړو چې نږدې شو:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
په تحلیلي ډول، بشپړوالی \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\) دی. په هرصورت، موږ به د \(n=4\) سره د trapezoidal میتود وکاروو.

۱. وقفه \([0,2]\)، بیا:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
۳. د فعالیت ارزښت:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)

د مرکب ټراپیزایډ فورمول وکاروئ:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
د ۲.۷۵ اټکل شوې پایله د ۲.۶۶۶۷ دقیق ارزښت ته خورا نږدې ده، د شاوخوا ۰.۰۸۳۳ تېروتنې سره.

په ټراپیزایډل میتود کې تېروتنه

د ټراپیزایډل میتود د نږدې کیدو یوه طریقه ده، پدې معنی چې تل د نږدې ارزښت او اصلي بشپړ ارزښت ترمنځ توپیر شتون لري. د غلطۍ شدت د لاندې لخوا اغیزمن کیږي:
۱. د فرعي وقفو شمېر \(n\): څومره چې لوی \(n\)، کوچنی \(h\)، او عموماً پایلې ډېرې دقیقې وي.
۲. د فعالیت منحنی: که چیرې فعالیت ډیر منحنی وي (لوی دوهم مشتق ولري)، د ټراپیزایډل میتود ممکن د لوړ ترتیب میتودونو په پرتله لږ دقیق وي.

د کافي اسانه دندو لپاره (د دوامداره دوهم مشتقاتو درلودل)، د مرکب ټراپیزایډل میتود تېروتنه اټکل کیدی شي:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f"(\xi)
\]
د ځینو \(\xi\) لپاره د \(a\) او \(b\) ترمنځ. له دې فورمول څخه دا لیدل کیدی شي چې تېروتنه د \(h^2\) سره متناسب ده. دا دی، که موږ \(h\) نیمایي کړو (یعنې، د فرعي وقفو شمیر دوه چنده کړو)، تېروتنه تقریبا یو پر څلورمه برخه کمیږي.

د ټراپیزایډل میتود ګټې

د ټراپیزایډل طریقه د څو دلیلونو لپاره مشهوره ده:

۱. ساده او چټک
محاسبه نسبتا اسانه ده، او حتی د کوچنیو قضیو لپاره په لاسي ډول ترسره کیدی شي.

۲. د جدول معلوماتو لپاره مناسب
که چیرې د \(f(x)\) ارزښت یوازې په جلا نقطو کې پیژندل کیږي (د مثال په توګه د اندازه کولو پایلې)، دا طریقه په مستقیم ډول پلي کیدی شي.

۳. د مستطیل میتود په پرتله غوره دقت
ځکه چې دا دوه پای ټکي کاروي او فعالیت د مستقیم کرښې سره نږدې کوي، دا عموما د ورته شمیر برخو لپاره د مستطیل نږدېوالي په پرتله ډیر دقیق دی.

4. د ډیری انجینرۍ غوښتنلیکونو لپاره مستحکم
د فزیک او انجینرۍ ډیری ستونزې (د مثال په توګه د کار محاسبه، انرژي، د متقابل ساحې، خارجیدو، او داسې نور) د دې طریقې په واسطه حل کیدی شي.

د ټراپیزایډل میتود محدودیتونه

که څه هم دا طریقه ګټوره ده، خو محدودیتونه لري:

۱. د ډېر منحني دندو لپاره لږ دقیق
ځکه چې دا یوازې په هر فرعي وقفه کې یو خطي نږدې والی کاروي، د چټکو بدلونونو یا تیزو منحنیاتو سره دندې لوی \(n\) ته اړتیا لري.

۲. د لوړ نظم طریقه نه ده
د \(h^2\) په ترتیب تېروتنې؛ نورې طریقې لکه سمپسن ممکن د ورته شمیر فرعي وقفو په اوږدو کې کوچنۍ تېروتنې ورکړي (په دې شرط چې فعالیت په کافي اندازه اسانه وي).

۳. د وقفې انتخاب ته حساس
که چیرې وقفه ډیره پراخه وي او \(n\) کوچنۍ وي، نو پایلې یې د پام وړ انحراف کولی شي.

تړل

د ټریپیزوډیل ادغام طریقه د عددي ادغام یو له خورا بنسټیزو تخنیکونو څخه ده. د وقفې په کوچنیو برخو ویشلو او په هره برخه کې د مستقیم کرښې سره د منحني ځای په ځای کولو سره، موږ کولی شو د انټیګرل نږدې کړو پرته لدې چې په تحلیلي ډول انټي ډیریویټیو ومومئ. فورمول ساده دی، د پلي کولو لپاره اسانه دی، او په ځانګړي توګه ګټور دی کله چې معلومات جلا وي یا فعالیت یوځای کول ستونزمن وي.

په هرصورت، د ټراپیزایډل میتود کاروونکي اړتیا لري چې د فرعي وقفو شمیر او د مدغم شوي فعالیت چلند ته پاملرنه وکړي. د لوړ منحني دندو لپاره یا کله چې لوړ دقت ته اړتیا وي، د ټراپیزایډل میتود لاهم د \(n\) زیاتولو سره کارول کیدی شي، یا د نورو عددي میتودونو لکه سمپسن یا رومبرګ میتودونو په پام کې نیول کیدی شي. د ښه پوهاوي سره، ټراپیزایډل میتود په ساینس، انجینرۍ او اقتصاد کې د مختلفو بشپړ ستونزو حل کولو لپاره یو اغیزمن او عملي وسیله کیږي.