د کالم ویکتورونو او قطار ویکتورونو په اړه د بحث لپاره د مثال پوښتنې
په ریاضي کې، په ځانګړې توګه خطي الجبرا کې، ویکتورونه یو بنسټیز مفهوم دی چې ډیری وختونه په مختلفو غوښتنلیکونو کې کارول کیږي، د فزیک ماډلینګ څخه تر محاسبې پورې. د ستون ویکتورونه او قطار ویکتورونه د ویکتور استازیتوب دوه ډولونه دي، هر یو یې خپل ځانګړتیاوې او کارونې لري. دا مقاله به د مثال ستونزو او د ستون ویکتورونو او قطار ویکتورونو په ګډون د هغوی حلونو په اړه بحث وکړي.
د ستون ویکتور او قطار ویکتور تعریف
مخکې لدې چې موږ د مثال پوښتنو او د هغوی بحث ته ورسیږو، راځئ چې لومړی د ستون ویکتورونو او قطار ویکتورونو اساسي تعریفونه بیاکتنه وکړو.
- د ستون ویکتورونه هغه ویکتورونه دي چې په یوه ستون کې تنظیم شوي وي، یعنې یو عمودي ابعاد. مثال:
\[
\mathbf{v} = \پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
2
\ پای {pmatrix}
\]
- قطار ویکتورونه هغه ویکتورونه دي چې په قطارونو کې تنظیم شوي وي، دا په یوه افقي ابعاد کې وي. مثال:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 او 1 او 7 \end{pmatrix}
\]
بېلګه ۱: د ستون ویکتورونو اضافه کول
پوښتنه:
د لاندې دوو ستنو ویکتورونو په پام کې نیولو سره:
\[
\mathbf{u} = \پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
3
\ پای { pmatrix}, \ څلور ګونی \ mathbf {v} = \ پیل { pmatrix}
۷ \\
۷ \\
0
\ پای {pmatrix}
\]
د دوو ستنو ویکتورونو مجموعه محاسبه کړئ.
حل:
د دوو ستنو ویکتورونو اضافه کول د دوی د اړوندو عناصرو په اضافه کولو سره ترسره کیږي.
\[
mathbf{u} + mathbf{v} = پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
3
\ پای { pmatrix} + \ پیل { pmatrix}
۷ \\
۷ \\
0
\ پای { pmatrix} = \ پیل { pmatrix}
۲ + ۱ \\
۲ + ۱ \\
3 + 0
\ پای { pmatrix} = \ پیل { pmatrix}
۷ \\
۷ \\
3
\ پای {pmatrix}
\]
نو، د \(\mathbf{u}\) او \(\mathbf{v}\) مجموعه \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ده.
د مثال پوښتنه ۲: د قطار ویکتورونو اضافه کول
پوښتنه:
د لاندې دوو قطار ویکتورونو په پام کې نیولو سره:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 او 4 او 6 \end{pmatrix}، \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 او 3 او 5 \end{pmatrix}
\]
د دوو قطار ویکتورونو مجموعه محاسبه کړئ.
حل:
د دوو قطار ویکتورونو اضافه کول د اړونده عناصرو په اضافه کولو سره ترسره کیږي.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 او 4 او 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 او 3 او 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 او 4 + 3 او 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 او 7 او 11 \end{pmatrix}
\]
نو، د \(\mathbf{a}\) او \(\mathbf{b}\) مجموعه \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) ده.
۳ بېلګه: د ستنو ویکتورونو له مخې د پیمانه ضرب
پوښتنه:
د ستون ویکتور \(\mathbf{c}\) او یو سکالر \(k\) ورکړل شوی:
\[
\mathbf{c} = \پیل{pmatrix}
-۲ \\
۷ \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
د سکالر ضرب پایله محاسبه کړئ.
حل:
د ستون ویکتور لخوا د سکیلر ضرب د ویکتور هر عنصر د سکیلر لخوا ضرب کولو سره ترسره کیږي.
\[
k\mathbf{c} = 2 \ پیل{pmatrix}
-۲ \\
۷ \\
5
\ پای { pmatrix} = \ پیل { pmatrix}
۲ ځله -۳ \\
۲ ځله ۴
۱۵۰ ځله ۴۵
\ پای { pmatrix} = \ پیل { pmatrix}
-۲ \\
۷ \\
10
\ پای {pmatrix}
\]
نو، د کالم ویکتور \(\mathbf{c}\) سره د سکیلر \(2\) ضرب کولو پایله \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) ده.
د مثال څلورمه پوښتنه: د قطار ویکتورونو لخوا د پیمانه ضرب
پوښتنه:
د قطار ویکتور \(\mathbf{d}\) او یو سکالر \(m\) ورکړل شوی:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 او -2 او 1 \end{pmatrix}، \quad m = -3
\]
د سکالر ضرب پایله محاسبه کړئ.
حل:
د قطار ویکتور لخوا د سکیلر ضرب د ویکتور هر عنصر د سکیلر لخوا ضرب کولو سره ترسره کیږي.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
نو، د سکیلر \(-3\) د قطار ویکتور \(\mathbf{d}\) سره د ضرب کولو پایله \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) ده.
۵ مثال: د میټریکس \(۱ \times ۳\) د \(۳ \times ۱\) په واسطه ضرب کول (د قطار ویکتور د ستون ویکتور لخوا)
پوښتنه:
د قطار ویکتور \(\mathbf{e}\) او د کالم ویکتور \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \ پیل{pmatrix} 2 & -1 & 4 \ end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \ پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
-2
\ پای {pmatrix}
\]
د دوو ویکتورونو محصول محاسبه کړئ.
حل:
د میټریکس ضرب کولو لپاره، د قطار ویکتور \(\mathbf{e}\) د \(1 \times 3\) میټریکس په توګه چلند کیږي، او د ستون ویکتور \(\mathbf{f}\) د \(3 \times 1\) میټریکس په توګه چلند کیږي. د دې ضرب پایله یو سکیلر دی، یعنې د اړوندو عناصرو د محصولاتو مجموعه:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \ پیل{pmatrix} 2 & -1 & 4 \ پای{pmatrix} \ پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \ ځله 5) + (-1 \ ځله 3) + (4 \ ځله -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
نو، د قطار ویکتور \(\mathbf{e}\) د ستون ویکتور \(\mathbf{f}\) سره د ضرب کولو پایله \(-1\) ده.
مثال ۶: د میټریکس ضرب \(۳ \times ۱\) د \(۱ \times ۳\) په واسطه (ستون ویکتور د قطار ویکتور لخوا)
پوښتنه:
د ستون ویکتور \(\mathbf{g}\) او د قطار ویکتور \(\mathbf{h}\) ورکړل شوی:
\[
\mathbf{g} = \پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} ۴ او ۵ او ۶ \end{pmatrix}
\]
د دوو ویکتورونو محصول محاسبه کړئ.
حل:
د قطار ویکتور لخوا د ستنې ویکتور د میټریکس ضرب کول د (\(3 \times 1\)) میټریکس تولیدوي چې د (\(1 \times 3\)) سره ضرب کیږي کوم چې د \(3 \times 3\) میټریکس تولیدوي. هر نوی عنصر د هغې د اړوندو عناصرو محصول دی:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \پیل{pmatrix}
۷ \\
۷ \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} ۴ او ۵ او ۶ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
۲ ځله ۴ او ۲ ځله ۵ او ۲ ځله ۶ \
۲ ځله ۴ او ۲ ځله ۵ او ۲ ځله ۶ \
۳ ځله ۴ او ۳ ځله ۵ او ۳ ځله ۶
\ پای { pmatrix} = \ پیل { pmatrix}
۲ او ۳ او ۱ \\
۲ او ۳ او ۱ \\
12 او 15 او 18
\ پای {pmatrix}
\]
نو، د ستنې ویکتور \(\mathbf{g}\) د قطار ویکتور \(\mathbf{h}\) سره د ضرب کولو پایله میټریکس دی:
\[
\ پیل {pmatrix}
۲ او ۳ او ۱ \\
۲ او ۳ او ۱ \\
12 او 15 او 18
\ پای {pmatrix}
\]
پایله
په دې مقاله کې، موږ د ستون او قطار ویکتورونو په اړه ډیری مثالونه لیدلي دي. د ستون او قطار ویکتورونو دواړو اضافه کول د دوی د اړوندو عناصرو په اضافه کولو سره ترلاسه کیږي. د ویکتور لخوا د سکیلر ضرب کول د ویکتور هر عنصر د سکیلر لخوا ضرب کولو سره هم ترلاسه کیږي. په پای کې، موږ زده کړل چې څنګه قطار او ستون ویکتورونه ضرب کړو، د دوی د ترتیب پورې اړه لري، یا یو سکیلر یا میټریکس ترلاسه کوو. د دې اساسي عملیاتو ماسټر کول د خطي الجبرا او معلوماتو تحلیل کې د ډیرو پیچلو غوښتنلیکونو لپاره خورا مهم دي.
