د خطي معادلو د سیسټم په اړه د بحث پوښتنې مثال
د خطي مساواتو سیسټمونه (SLE) یو بنسټیز مفهوم دی چې ډیری وختونه په ریاضي کې په ثانوي او دریمه درجه دواړو کچو کې تدریس کیږي. د SLE ماسټري خورا مهمه ده ځکه چې دا په مختلفو برخو کې پراخه کارول کیږي، له فزیک او اقتصاد څخه تر انجینرۍ پورې. پدې مقاله کې، موږ به د خطي مساواتو سیسټمونو او د هغوی د حل لارو څو مثالونه بحث کړو. موږ به د پوهیدو اسانتیا لپاره د بدیل، له منځه وړلو، او میټریکس میتودونو څخه کار واخلو.
نمونې پوښتنې او بحث
د مثال پوښتنه ۱: د بدیل طریقه
پوښتنه:
د بدیل میتود په کارولو سره د معادلو لاندې سیسټم حل کړئ:
۱. \(۲x + ۳y = ۸\)
۲. \(x – ۲y = -۳\)
حل:
۱. لومړی ګام دا دی چې د یو متغیر لپاره یوه معادله حل کړو. د مثال په توګه، موږ کولی شو د \(x\) لپاره دوهمه معادله حل کړو:
\[ x – 2y = -3 \]
\[ x = 2y – 3 \]
۲. په لومړۍ معادلې کې \(x = 2y – 3\) ځای ونیسئ:
\[ ۲(۲y – ۳) + ۳y = ۸ \]
\[ ۴ – ۶ + ۳ = ۸ \]
\[ ۷ – ۶ = ۸ \]
\[ ۷y = ۱۴ \]
\[ y = 2 \]
۳. اوس، \(y = 2\) د \(x = 2y – 3\) معادلې سره ځای په ځای کړئ:
\[ x = 2(2) – 3 \]
\[ x = ۴ – ۳ \]
\[ x = ۳ \]
نو، د معادلو سیسټم حل \( x = 1 \) او \( y = 2 \) دی.
د مثال پوښتنه ۲: د له منځه وړلو طریقه
پوښتنه:
د له منځه وړلو میتود په کارولو سره د معادلو لاندې سیسټم حل کړئ:
۱. \(۲x + ۳y = ۸\)
۲. \(۵x – y = ۹\)
حل:
۱. لومړی ګام دا دی چې د دواړو معادلو کې د یو متغیر ضریب یو شان شي. موږ کولی شو دوهمه معادله په ۲ سره ضرب کړو ترڅو د \(y\) ضریب یو شان شي:
\[ ۲(۵x – y) = ۲(۹) \]
\[ ۱۰x – ۲y = ۱۸ \]
۲. د \(y\) د له منځه وړلو لپاره دوه معادلې اضافه کړئ:
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ ۲.۸۲x = ۱ \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
۳. په لومړۍ معادلې کې \( x = \frac{30}{13} \) ځای ونیسئ:
\[ ۳\کیڼ(\frac{30}{13}\ښي) + ۲y = ۱۲ \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ ۲y = ۱۲ – \frac{۹۰}{۱۳} \]
\[ ۲y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ ۲y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
نو، د معادلو سیسټم حلونه \( x = \frac{30}{13} \) او \( y = \frac{33}{13} \) دي.
د مثال پوښتنه ۳: د میټریکس طریقه (د ګاوسین له منځه وړل)
پوښتنه:
د میټریکس میتود په کارولو سره د معادلو لاندې سیسټم حل کړئ:
۱. \(x + y + z = ۶\)
۲. \(۲x – y + ۳z = ۱۴\)
۳. \(۴x + ۲y – z = ۲\)
حل:
۱. د معادلو سیسټم د میټریکس وده شوې بڼه:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۲ او -۱ او ۳ او | او ۱۴ \\
۴ او ۲ او -۱ او | او ۲
\ پای {pmatrix} \]
۲. د ګاوسین له منځه وړلو پروسه:
- دوهم قطار د دوهم قطار پایلې ته بدل کړئ چې د لومړي قطار څخه دوه چنده منفي وي:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۲ او -۱ او ۳ او | او ۱۴ \\
۴ او ۲ او -۱ او | او ۲
\ پای {pmatrix} \]
- دریم قطار د دریم قطار پایلې ته بدل کړئ چې د لومړي قطار څخه څلور ځله منفي شي:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۲ او -۱ او ۳ او | او ۱۴ \\
۰ او -۲ او -۵ او | او -۲۲
\ پای {pmatrix} \]
- دریم قطار د دریم قطار پایلې سره د دوهم قطار دوه پر دریمه برخه بدل کړئ:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۲ او -۱ او ۳ او | او ۱۴ \\
۰ او ۰ او -۴ او | او -۲۰
\ پای {pmatrix} \]
- دریم قطار د دریم قطار په پایله کې چې د -4 لخوا ویشل شوی وي بدل کړئ:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۲ او -۱ او ۳ او | او ۱۴ \\
۰ او ۰ او ۱ او | او ۵
\ پای {pmatrix} \]
- دوهم قطار د دوهم قطار او دریم قطار پایلې ته واړوئ:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۰ او -۳ او ۰ او | او -۳ \\
۰ او ۰ او ۱ او | او ۵
\ پای {pmatrix} \]
- دوهم قطار د دوهم قطار په پایله کې چې په -3 ویشل شوی وي بدل کړئ:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۰ او ۰ او ۱ او | او ۵
\ پای {pmatrix} \]
- لومړۍ قطار د لومړۍ قطار پایلې ته بدل کړئ، دوهم او دریم قطار منفي کړئ:
\[ \پیل{pmatrix}
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۱ او ۱ او ۱ او | او ۶ \\
۰ او ۰ او ۱ او | او ۵
\ پای {pmatrix} \]
نو، د معادلو سیسټم حلونه \( x = 0 \)، \( y = 1 \)، او \( z = 5 \) دي.
پایله
د خطي مساواتو د سیسټمونو د حل کولو میتودونو پوهیدل د ریاضياتو د مهارت لپاره خورا مهم دي. د بدیل، له منځه وړلو، او میټریکس میتودونه د سم حل موندلو لپاره مختلفې لارې چارې وړاندې کوي. د دوامداره تمرین او د مفاهیمو د قوي پوهې سره، هرڅوک کولی شي دا تخنیکونه ماسټر کړي او په مختلفو شرایطو کې یې پلي کړي. هیله ده، هغه مثالونه چې پدې مقاله کې بحث شوي به لوستونکو سره د خطي مساواتو سیسټمونو په ښه پوهیدو او ماسټر کولو کې مرسته وکړي.
