د مثال پوښتنه چې د موازي ګرام میتود په کارولو سره د دوو ویکتورونو اضافه کولو په اړه بحث کوي
د ویکتور اضافه کول په فزیک او ریاضیاتو کې یو مهم مفهوم دی، چې ډیری وختونه د طبیعي پیښو او ورځني ژوند ستونزو تشریح کولو لپاره کارول کیږي. د دوو ویکتورونو د اضافه کولو لپاره ډیری میتودونه شتون لري، چې یو یې د متوازی ګرام میتود دی. دا میتود نه یوازې رواني دی بلکه د دې لپاره یو پیاوړی تصور هم وړاندې کوي چې څنګه دوه ویکتورونه یوځای کیږي ترڅو پایله لرونکی ویکتور جوړ کړي. پدې مقاله کې، موږ به د متوازی ګرام میتود په کارولو سره د ویکتور اضافه کولو څو مثالونه وګورو، د دوی حلونو سره.
ویکتور څه شی دی؟
مخکې له دې چې د مثال ستونزو ته ورسیږو، موږ باید د ویکتور اساسي تعریف درک کړو. ویکتور هغه مقدار دی چې شدت (اوږدوالی) او سمت دواړه لري. د ویکتورونو کلاسیک مثالونه سرعت، سرعت، ځواک، او بې ځایه کیدل شامل دي. یو ویکتور د کارټیسین همغږي کې د هغې د اجزاو (i، j، k) په توګه یا د هغې د اوږدوالي او سمت (زاویه) په توګه ښودل کیدی شي.
د موازي ګرام طریقه
د موازي ګرام طریقه د دوو ویکتورونو د اضافه کولو یوه لاره ده. پدې طریقه کې، موږ دوه ویکتورونه د موازي ګرام د دوو اړخونو په توګه استازیتوب کوو. پایله لرونکی ویکتور د موازي ګرام قطری دی چې د دوو ویکتورونو د پیل ټکي څخه پیل کیږي. په ریاضي ډول، که موږ دوه ویکتورونه \(\vec{A}\) او \(\vec{B}\) ولرو، پایله \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) ده.
د موازي ګرام میتود کارولو لپاره ګام په ګام طریقه په لاندې ډول ده:
۱. د پیل ټکي څخه ویکتور \(\vec{A}\) رسم کړئ.
۲. د ویکتور \(\vec{A}\) له پای څخه، ویکتور \(\vec{B}\) رسم کړئ.
۳. د پیل ټکي \(\vec{A}\) څخه د ویکتور \(\vec{B}\) سره موازي یوه کرښه رسم کړئ.
۴. د ویکتور \(\vec{B}\) له پای څخه د ویکتور \(\vec{A}\) سره موازي یوه کرښه رسم کړئ.
۵. د پیل ټکي څخه مخالف کونج ته یو قطری رسم کړئ ترڅو پایله لرونکی ویکتور \(\vec{R}\) ترلاسه کړئ.
نمونې پوښتنې او بحث
پوښتنه ۴
فرض کړئ چې موږ دوه ویکتورونه لرو \(\vec{A}\) او \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) د 5 واحدونو اوږدوالی (شدت) او د 0° لوري (یا د مثبت x محور په اوږدو کې) لري،
– \(\vec{B}\) د 3 واحدونو اوږدوالی او د 90° لوري (یا د مثبت y محور په اوږدو کې) لري.
د موازي ګرام میتود په کارولو سره د دې دوو ویکتورونو د اضافه کولو پایله ارزښت څه دی؟
بحث:
۱. ویکتور \(\vec{A}\) د مثبت ایکس محور په اوږدو کې د ۵ واحدونو په اوږدوالي سره رسم کړئ.
۲. د ویکتور \(\vec{A}\) له پای څخه، ویکتور \(\vec{B}\) د مثبت y محور په اوږدو کې د ۳ واحدونو په اوږدوالي سره رسم کړئ.
۳. د پیل ټکي \(\vec{A}\) څخه، د \(\vec{B}\) سره موازي یوه کرښه رسم کړئ.
۴. د \(\vec{B}\) له پای څخه، د \(\vec{A}\) سره موازي یوه کرښه رسم کړئ.
۵. پایله یې یو موازي ګرام دی چې یو قطری دی چې پایله لرونکی ویکتور \(\vec{R}\) دی.
څرنګه چې \(\vec{A}\) او \(\vec{B}\) یو بل ته عمودي دي، موږ کولی شو د پایتاګورین تیورم څخه کار واخلو ترڅو د پایله شوي ویکتور اوږدوالی محاسبه کړو:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \نږدې 5.83 \]
د پایله لرونکي ویکتور لوري د مثلثاتو په کارولو سره محاسبه کیدی شي. که چیرې \(\theta\) د پایله لرونکي او \(\vec{A}\) ترمنځ زاویه وي:
\[ \تان(\تیټا) = \فریک{ب}{الف} = \فریک{۳}{۵} \]
نو:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \تقریبا 30.96^\circ \]
په دې توګه، پایله لرونکی ویکتور \(\vec{R}\) د شاوخوا 5.83 واحدونو شدت او د \(\vec{A}\) څخه شاوخوا 30.96° لوري لري.
پوښتنه ۴
دوه ویکتورونه \(\vec{C}\) او \(\vec{D}\) په لاندې ډول ورکړل شوي دي:
– \(\vec{C}\) د څلورو واحدونو اوږدوالی او د ۴۵ درجو لوري سره.
– \(\vec{D}\) د ۶ واحدونو اوږدوالی او ۱۲۰ درجې لوري سره.
د دوو ویکتورونو د اضافه کولو څخه پایله لرونکی ویکتور \(\vec{R}\) معلوم کړئ.
بحث:
د دوو ویکتورونو د اضافه کولو لپاره چې یو بل ته عمودي نه وي یا په مختلفو شکلونو کې وي، تاسو کولی شئ د کارټیسین اجزا وکاروئ.
۱. \(\vec{C}\) او \(\vec{D}\) په x او y برخو وویشئ.
د \(\vec{C}\) لپاره:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \تقریبا 2.83 \]
\[ C_y = C \ګناه(۴۵^\سرک) = ۴ \ګناه(۴۵^\سرک) = ۴ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = ۲\sqrt{2} \تقریبا ۲.۸۳ \]
د \(\vec{D}\) لپاره:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \ګناه(۱۲۰^\سرک) = ۶ \ګناه(۱۲۰^\سرک) = ۶ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = ۳\sqrt{3} \تقریبا ۵.۲۰ \]
۲. د دواړو ویکتورونو x او y اجزا اضافه کړئ:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
۳. د پایله لرونکي ویکتور \(\vec{R}\) شدت او سمت محاسبه کړئ:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \نږدې 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \تقریبا \tan^{-1}(-47.24) \]
څرنګه چې پایله منفي ده، موږ 180 درجې اضافه کوو ترڅو زاویه په سم کواډرینټ سیسټم کې ترلاسه کړو:
\[ \theta \تقریباً \تان^{-1}(47.24) + 180^\سرک \تقریباً 271.93^\سرک \]
نو، پایله لرونکی ویکتور \(\vec{R}\) د شاوخوا 8.03 واحدونو شدت او شاوخوا 271.93° لوري لري، یا موږ کولی شو د څلورم کواډرینټ کې د منفي ایکس محور څخه شاوخوا 91.93° ووایو.
تړل
د متوازي ګرام طریقه د دوو ویکتورونو د اضافه کولو لپاره یوه اغیزمنه او بصري لاره ده. که څه هم دا طریقه ممکن د ساده ویکتورونو لپاره ساده ښکاري، دا مهمه ده چې پوه شو چې د ډیرو پیچلو ویکتورونو لپاره، موږ ډیری وختونه د دقیقو پایلو ترلاسه کولو لپاره د کارټیسین اجزاو او ډیرو پرمختللو الجبریک تخنیکونو کارولو ته اړتیا لرو. هیله ده، پورته مثالونه یو روښانه انځور وړاندې کوي چې دا طریقه څنګه په مختلفو حالتونو کې پلي کیدی شي.
