د ټاکلو ضریب په اړه د بحث پوښتنې مثال
د تعیین ضریب (R²) د رجعت تحلیل کې یو مهم پیرامیټر دی، دا په ګوته کوي چې د رجعت ماډل د معلوماتو اصلي تغیر څومره ښه تشریح کوي. پدې مقاله کې، موږ به د ضعف ضریب مفهوم د یوې مفصلې مثال او بحث له لارې تشریح کړو.
د ټاکلو ضریب بنسټیز مفهوم
د ټاکلو ضریب یا \( R^2 \) د 0 څخه تر 1 پورې په پیمانه اندازه کیږي، چیرته چې:
– \( R^2 = 0 \) ښيي چې د ریګریشن ماډل په هیڅ ډول د معلوماتو د تغیراتو تشریح کولو توان نلري.
– \( R^2 = 1 \) ښیي چې د ریګریشن ماډل د معلوماتو ټول تغیرات په سمه توګه تشریح کولو توان لري.
د ټاکلو ضریب محاسبه کولو لپاره اساسي فورمول دا دی:
\[ R^2 = ۱ – \frac{SSR}{SST} \]
چیرته:
- SSR (د مربع پاتې شونو مجموعه) د ماډل او اصلي ارزښتونو لخوا وړاندوینې شوي ارزښتونو ترمنځ د توپیرونو مربعونو مجموعه ده.
- SST (د مربعونو ټول مجموعه) د اصلي ارزښت او د اصلي ارزښتونو اوسط ترمنځ د توپیرونو د مربعونو مجموعې مجموعه ده.
د ستونزو مثال
راځئ چې د یوې مثالي ستونزې په اړه بحث وکړو ترڅو د تعیین ضریب محاسبه په ژوره توګه درک کړو.
د ستونزو مثال:
فرض کړئ چې موږ د لسو زده کونکو د مطالعې ساعتونو (X) او د ازموینې نمرو (Y) په اړه معلومات لرو:
| زده کوونکي | د مطالعې ساعتونه (X) | د ازموینې نمرې (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۹ | ۳ | ۶۲ |
| ۱۰ | ۴ | ۷۸ |
موږ به یو ساده خطي ریګریشن ماډل جوړ کړو چیرې چې د ازموینې نمرې (Y) د مطالعې ساعتونو (X) پراساس وړاندوینه کیږي.
بحث
۱. د یو ساده خطي ریګریشن ماډل جوړول
د خطي ریګریشن یو ساده ماډل دا بڼه لري:
\[ Y = a + bX \]
چیرته:
– \( Y \) د ازموینې وړاندوینه شوې نمره ده.
– \( X \) د مطالعې ساعتونو شمېر دی.
– \( a \) مداخله ده (د Y محور باندې د تقاطع نقطه کله چې X = 0 وي).
– \( b \) د شاته تګ (د رجعت کرښې ميلان) دی.
د \( a \) او \( b \) پیرامیټرونو محاسبه کولو لپاره، موږ لاندې فورمول کاروو:
\[ ب = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ الف = \frac{\جمع{Y} – ب(\جمع{X})}{ن} \]
چیرته چې \( n \) د معلوماتو شمیره ده (په دې حالت کې n = 10).
له جدول څخه موږ محاسبه کولی شو:
– \(\جمع{X} = 36\)
– \(\جمع{Y} = 704\)
– \(\جمع{X^2} = ۱۴۰\)
– \(\جمعه{Y^2} = 50428\)
– \(\جمعه{XY} = ۲۵۷۶\)
راځئ چې لومړی b محاسبه کړو:
\[ ب = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ ب = \frac{۲۵۷۶۰ – ۲۵۳۴۴}{۱۴۰۰ – ۱۲۹۶} \]
\[ ب = \frac{416}{104} \]
\[ ب = ۴ \]
بیا، موږ محاسبه کوو:
\[ الف = \frac{۷۰۴ – ۴(۳۶)}{۱۰} \]
\[ الف = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ الف = \frac{560}{10} \]
\"a = 56 \]
نو، د خطي ریګریشن ماډل چې موږ یې ترلاسه کوو دا دی:
\[ Y = 56 + 4X \]
۲. اټکل شوی ارزښت (Y') محاسبه کړئ
بیا، موږ د هر \( X \) لپاره اټکل شوی ارزښت \( Y' \) محاسبه کوو:
| زده کوونکي | د مطالعې ساعتونه (X) | د ازموینې نمرې (Y) | وړاندوینه شوې نمرې (Y') |
|——-|——————–|——————–|—————————-|
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۹ | ۳ | ۶۲ | \( ۵۶ + ۴(۳) = ۶۸ \) |
| ۱۰ | ۴ | ۷۸ | \( ۵۶ + ۴(۴) = ۷۲ \) |
۳. د SSR او SST محاسبه کول
بیا، موږ SSR او SST محاسبه کوو ترڅو \( R^2 \) ترلاسه کړو.
SSR:
\[ SSR = \ مجموعه {(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (۵۸ – ۶۴)^۲ + (۶۴ – ۶۸)^۲ + (۷۰ – ۷۲)^۲ + (۸۵ – ۷۶)^۲ + (۵۷ – ۶۴)^۲ + (۶۸ – ۶۸)^۲ + (۷۲ – ۷۲)^۲ + (۹۰ – ۷۶)^۲ + (۶۲ – ۶۸)^۲ + (۷۸ – ۷۲)^۲ \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
د SST:
\"SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
چیرته:
\[ \بار{Y} = \فراس{\جمع{Y}}{n} = \فراس{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (۵۸ – ۷۰.۴)^۲ + (۶۴ – ۷۰.۴)^۲ + (۷۰ – ۷۰.۴)^۲ + (۸۵ – ۷۰.۴)^۲ + (۵۷ – ۷۰.۴)^۲ + (۶۸ – ۷۰.۴)^۲ + (۷۲ – ۷۰.۴)^۲ + (۹۰ – ۷۰.۴)^۲ + (۶۲ – ۷۰.۴)^۲ + (۷۸ – ۷۰.۴)^۲ \]
\[ SST = ۱۵۳.۷۶ + ۴۰.۹۶ + ۰.۱۶ + ۲۱۳.۱۶ + ۱۷۸.۵۶ + ۵.۷۶ + ۲.۵۶ + ۳۸۴.۱۶ + ۷۰.۵۶ + ۵۷.۷۶ \]
\[ SST = ۱۱۰۷.۴۴ \]
۴. د ټاکلو ضریب محاسبه کول \( R^2 \):
\[ R^2 = ۱ – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = ۱ – \frac{۴۵۴}{۱۱۰۷.۴۴} \]
\[ R^2 = ۱ – ۰.۴۱ \]
\[ R^2 = 0.59 \]
پایله
د پورته محاسبې څخه، موږ د تعیین ضریب (R2 = 0.59) ترلاسه کړ. دا په ګوته کوي چې د خطي ریګریشن ماډل چې موږ رامینځته کړی کولی شي د مطالعې ساعتونو پراساس د ازموینې نمرو کې د تغیراتو نږدې 59٪ تشریح کړي. پاتې 41٪ تغیرات ممکن د نورو عواملو له امله وي چې په ماډل کې شامل ندي.
د پورته مرحلو او محاسبو په پوهیدو سره، موږ کولی شو د ټاکلو ضریب اهمیت وګورو چې دا ارزونه کوي چې د ریګریشن ماډل چې موږ یې جوړوو د معلوماتو اصلي تغیرات څومره ښه تشریح کوي. دا د احصایوي تحلیل او د معلوماتو ماډلینګ کې خورا ګټور وسیله ده.
