د دوه نومي ویش د فعالیت په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنو

د دوه نومي ویش د فعالیت په اړه د بحث لپاره د مثال پوښتنې

د دوه نومي ویش یو جلا احتمالي ویش دی چې په یوه تجربه کې د بریالیتوبونو شمیر بیانوي چې د څو خپلواکو ازموینو څخه جوړ شوی چې دوه احتمالي پایلې لري: بریالیتوب او ناکامي. هرې آزموینې ته آزموینه ویل کیږي، او د دوه نومي ویش ډیری وختونه په هغه شرایطو کې کارول کیږي چیرې چې د څو خپلواکو ازموینو په اوږدو کې د بریالیتوبونو شمیر د علاقې وړ وي. پدې مقاله کې، موږ به د دوه نومي ویش اساسي مفاهیمو په اړه بحث وکړو او مثالونه او حلونه به وړاندې کړو.

د دوه نومي ویش د فعالیت اساسي مفاهیم

مخکې لدې چې موږ د مثال پوښتنو او بحث ته ورسیږو، راځئ چې د دوه نومي ویش پورې اړوند ځینې اساسي مفاهیمو په اړه بحث وکړو.

۱. تعریف: دوه نومي ویش د 'n' خپلواکو محاکمو کې د بریالیتوبونو مجموعې په توګه تعریف شوی، چیرې چې هره محاکمه دوه ممکنه پایلې لري: بریالیتوب (د احتمال p سره) یا ناکامي (د احتمال q = 1 - p سره).

۲. د احتمال دنده: د دوه نومي ویش د احتمال دنده دا ده:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
چیرته:
– \( P(X = k) \) د n آزموینو کې د k بریالیتوب احتمال دی.
– \( \binom{n}{k} \) د n ټیک k ترکیب دی، کوم چې د \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) په توګه تعریف شوی.
– \( p \) په هره محاکمه کې د بریالیتوب احتمال دی.
– \( (1-p) \) په هره محاکمه کې د ناکامۍ احتمال دی.

۳. تمه شوی ارزښت او توپیر:
– د دوه نومي ویش متوقع ارزښت (اوسط) \( \mu = np \) دی.
– د دوه نومي ویش توپیر \( \sigma^2 = np(1-p) \) دی.

اوس، راځئ چې دا مفاهیم په یوه مثالي ستونزه کې پلي کړو ترڅو ژوره پوهه چمتو کړو.

د مثال لومړۍ پوښتنه: د دوه نومي ویش اساسي محاسبې

پوښتنه:
یو شرکت د 0.95 احتمال سره بریښنایی اجزا تولیدوي چې هر جز د کیفیت ازموینه تیره کړي. که چیرې 10 اجزا تولید شي، نو احتمال محاسبه کړئ چې دقیقا 8 اجزا د کیفیت ازموینه تیره کړي.

بحث:
موږ کولی شو د دې ستونزې د حل لپاره د دوه نومي ویش فورمول وکاروو. لومړی، موږ لاندې پیرامیټرې په ګوته کوو:
– \( n \) (د ازموینو ټول شمېر) = ۱۰
– \( k \) (د بریالیتوبونو شمیر) = ۸
– \( p \) (د بریالیتوب احتمال) = 0.95
– \( q \) (د ناکامۍ احتمال) = ۱ – ۰.۹۵ = ۰.۰۵

بیا دا ارزښتونه د دوه نومي ویش فورمول سره بدل کړئ:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

لومړی، د \( \binom{10}{8} \) ترکیب محاسبه کړئ:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

بیا، احتمالات محاسبه کړئ \( (0.95)^8 \) او \( (0.05)^2 \):
\[
(۰.۹۵)^۸ \ نږدې ۰.۶۶۳۴
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

په پای کې، دا ټول ارزښتونه ضرب کړئ ترڅو ترلاسه کړئ:
\[
P(X = 8) = 45 \ ځله 0.6634 \ ځله 0.0025 \ نږدې 0.0744
\]

نو، احتمال چې په سمه توګه له لسو برخو څخه اته یې د کیفیت ازموینه کې بریالي شي شاوخوا 0.0744 یا 7.44٪ دی.

د مثال پوښتنه ۲: مجموعي احتمال

پوښتنه:
بیا هم د ورته شرکت سره، احتمال محاسبه کړئ چې لږترلږه له 10 برخو څخه 9 یې د کیفیت ازموینه کې بریالي شي.

بحث:
د دې ستونزې د حل لپاره، موږ باید د مجموعي احتمال محاسبه کړو. دا احتمال چې لږترلږه له 10 برخو څخه 9 یې ازموینه کې بریالي شي پدې معنی چې موږ محاسبه کوو \( P(X \geq 9) \)، کوم چې په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

د دوه نومي ویش فورمول کارول:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

لومړی، د هرې قضیې لپاره ترکیب محاسبه کړئ:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\بنوم{10}{10} = ۱
\]

بیا، د \( P(X = 9) \) او \( P(X = 10) \ لپاره احتمالات محاسبه کړئ):
\[
P(X = 9) = 10 \ ځله (0.95)^9 \ ځله 0.05
\]
\[
(۰.۹۵)^۸ \ نږدې ۰.۶۶۳۴
\]
\[
P(X = 9) = 10 \ ځله 0.6302 \ ځله 0.05 \ نږدې 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 \ ځله (0.95)^{10} \ ځله 1
\]
\[
(0.95)^{10} \ نږدې 0.5987
\]
\[
پ(ایکس = ۱۰) = ۰.۵۹۸۷
\]

د \( P(X \geq 9) \ لپاره ټول احتمال):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \ نږدې 0.9138
\]

نو، احتمال چې لږترلږه له لسو برخو څخه 9 یې د کیفیت ازموینه کې بریالي شي شاوخوا 0.9138 یا 91.38٪ دی.

د مثال دریمه پوښتنه: تمه شوې ارزښت او توپیر

پوښتنه:
د تولید شویو ۱۰ برخو څخه د کیفیت ازموینې کې د بریالي شویو اجزاو د شمیر متوقع ارزښت او توپیر محاسبه کړئ، د ۰.۹۵ د بریالي کیدو احتمال سره.

بحث:
لاندې فورمول وکاروئ:
– تمه شوې ارزښت (اوسط) \( \mu = np \)
– توپیر \( \sigma^2 = np(1-p) \)

د \( n = 10 \) او \( p = 0.95 \) سره:
\[
\mu = ۱۰ ځله ۰.۹۵ = ۹.۵
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]

نو، د کیفیت ازموینې کې د بریالي شویو اجزاو د شمیر تمه شوې ارزښت 9.5 دی، او توپیر 0.475 دی.

پایله

د پورته دریو مثالي ستونزو له لارې، موږ د مختلفو حالتونو لپاره د دوه نومي ویش په کارولو سره د احتمال محاسبه کولو په اړه بحث کړی دی: دقیق احتمال محاسبه کول، مجموعي احتمال، او د تمه شوي ارزښت او توپیر محاسبه کول. د دوه نومي ویش پوهه په مختلفو برخو کې ګټوره ده، لکه تولید، طبي څیړنه، او ټولنیز احصایې، چیرې چې د دوه ممکنه پایلو سره د تکرار تجربو پایلې د پریکړې کولو کې د مرستې لپاره تحلیل کیدی شي. هیله ده، چمتو شوي مثال ستونزې او بحثونه به ستاسو د دوه نومي ویش په اړه د پوهیدو نور هم مرسته وکړي.