د دوه نومي ویش په اړه د مثال پوښتنې او بحث
د دوه نومي ویش یو له خورا عام کارول شوي جلا احتمالي ویشونو څخه دی. دا د یو شمیر ورته، خپلواکو ازموینو په اوږدو کې د بریالیتوبونو شمیر ماډل کولو لپاره ګټور دی، چې هر یو یې یا بریالیتوب یا ناکامي تولیدوي. پدې مقاله کې، موږ به د څو مثالونو او مفصل بحث په وړاندې کولو سره د دوه نومي ویش ژوره مطالعه وکړو.
د دوه نومي ویش پیژندنه
د دوه نومي ویش اصلي ځانګړتیاوې:
۱. ن: د ازموینو یا تکرارونو شمیر.
۲. مخ: په هره محاکمه کې د بریالیتوب احتمال.
۳. q = ۱-p: په هره ازموینه کې د ناکامۍ احتمال.
د دوه نومي ویش د احتمالي ډله ایز فعالیت دا دی:
\[ P(X = k) = {n \k غوره کړئ} p^k (1-p)^{nk} \]
چیرته:
– \( {n \k غوره کړئ} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): یو ناڅاپي متغیر چې د بریالیتوبونو شمیر استازیتوب کوي.
– \( k \): د غوښتل شویو بریالیتوبونو شمیر.
نمونې پوښتنې او بحث
راځئ چې د دوه نومي ویش مفهوم په تفصیل سره د پوهیدو لپاره د ځینو مثالونو ستونزو سره پیل وکړو.
بېلګه ۱: د زده کونکو له یوې ډلې څخه غوره کول
د مثال په توګه، فرض کړئ چې موږ د 10 زده کونکو یوه ډله لرو، او احتمال چې هر زده کونکی په سیالۍ کې د ګډون لپاره غوره شوی وي 0,3 دی. موږ غواړو د دې احتمال پوه شو چې دقیقا 4 زده کونکي غوره شوي دي.
لومړی ګام: د دوه نومي ویش پیرامیټرونه وپیژنئ.
– \( ن = ۱۰ \)
– \( مخ = 0.3 \)
دوهم ګام: د \( X = 4 \) احتمال محاسبه کولو لپاره د دوه نومي ویش څخه کار واخلئ.
\[ P(X = 4) = {10 \4 غوره کړئ} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
محاسبه کول \( {10 \4 غوره کړئ} \):
\[ {۱۰ \۴ غوره کړئ} = \frac{۱۰!}{۴!(۱۰-۴)!} = \frac{۱۰!}{۴!۶!} = ۲۱۰ \]
اوس محاسبه کړئ \( (0.3)^4 \) او \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
جدی
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \نږدې 0.20012 \]
نو، احتمال چې دقیقا څلور زده کونکي غوره شي تقریبا 0.20012 یا 20.012٪ دی.
بېلګه ۲: احتمال له ۲ څخه کم یا مساوي
اوس، د مثال په توګه، له موږ څخه د دې احتمال په اړه پوښتنه کیږي چې له دوو څخه کم یا مساوي زده کونکي به غوره شي.
لومړی ګام: موږ باید محاسبه کړو \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), او \( P(X = 2) \).
– د \( P(X = 0) \ لپاره):
\[ P(X = 0) = {10 \ 0 غوره کړئ} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ پي(ایکس = ۰) = ۱ \سي ډاټ ۱ \سي ډاټ ۰.۰۲۸۲۴۷۵ = ۰.۰۲۸۲۴۷۵ \]
– د \( P(X = 1) \ لپاره):
\[ P(X = 1) = {10 \1 غوره کړئ} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ پي(ایکس = ۰) = ۱ \سي ډاټ ۱ \سي ډاټ ۰.۰۲۸۲۴۷۵ = ۰.۰۲۸۲۴۷۵ \]
– د \( P(X = 2) \ لپاره):
\[ P(X = 2) = {10 \2 غوره کړئ} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ پي(ایکس = ۰) = ۱ \سي ډاټ ۱ \سي ډاټ ۰.۰۲۸۲۴۷۵ = ۰.۰۲۸۲۴۷۵ \]
دوهم ګام: احتمالات اضافه کړئ.
\[ مخ(ایکس \لیک ۲) = مخ(ایکس = ۰) + مخ(ایکس = ۱) + مخ(ایکس = ۲) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
نو، احتمال چې له دوو څخه کم یا مساوي زده کونکي غوره شي تقریبا 0.7740671 یا 77.41٪ دی.
مثال ۳: د لږ تر لږه ۸ احتمال
که چیرې یوه تجربه ۱۲ ځله ترسره شي، او په هره آزموینه کې د بریالیتوب احتمال ۰.۵ وي، نو د لږترلږه ۸ بریالیتوبونو احتمال څومره دی؟
لومړی ګام: د دوه نومي پیرامیټرې تنظیم کړئ: \( n = 12, p = 0.5 \).
دوهم ګام: د \( X \geq 8 \) لپاره احتمال ومومئ.
دا د څو انفرادي احتمالاتو محاسبه کولو او د هغوی اضافه کولو ته اړتیا لري:
\[ P(X = geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
یو په یو حساب کړئ:
– د \( P(X = 8) \ لپاره):
\[ P(X = 8) = {12 \8 غوره کړئ} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– د \( P(X = 9) \ لپاره):
\[ P(X = 9) = {12 \9 غوره کړئ} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– د \( P(X = 10) \ لپاره):
\[ P(X = 10) = {12 \ 10 غوره کړئ} (0.5)^10} (0.5)^2 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– د \( P(X = 11) \ لپاره):
\[ P(X = 11) = {12 \ 11 غوره کړئ} (0.5)^11} (0.5)^1 \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– د \( P(X = 12) \ لپاره):
\[ P(X = 12) = {12 \ 12 غوره کړئ} (0.5)^{12} \]
\[ {۱۰ \ ۰ غوره کړئ} = ۱ \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
دریم ګام: ټول احتمالات اضافه کړئ.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \نږدې 0.1938477 \]
نو، احتمال چې لږترلږه 8 بریالیتوبونه په 12 ازموینو کې واقع شي تقریبا 0.1938477 یا 19.38٪ دی.
پایله
د دوه نومي ویش په احصایو کې یو بنسټیز مفهوم دی چې په ډیری عملي غوښتنلیکونو کې خورا مهم دی. د دوه نومي ویش د مختلفو قضیو لپاره د احتمالاتو محاسبه کولو په پوهیدو سره، لکه څنګه چې پورته مثالونو کې ښودل شوي، موږ کولی شو دا مفهوم په حقیقي نړۍ کې پلي کړو. دا تمرین زموږ پوهه هم پیاوړې کوي چې څنګه د احتمالي جوړښتونو کار په روښانه او منظم شرایطو کې ترسره کیږي.
