د مثال په توګه د هغو پوښتنو په اړه چې د ټاکونکو او میټریکس برعکس په اړه بحث کوي
د میټریکس ټاکونکي او د میټریکس معکوسونه په خطي الجبرا کې دوه بنسټیز مفاهیم دي چې په مختلفو برخو کې پراخه غوښتنلیکونه لري، پشمول د ریاضي، فزیک، اقتصاد او انجینرۍ. د ډیرو پیچلو ریاضيکي ستونزو د حل لپاره د دې مفاهیمو بشپړه پوهه اړینه ده. پدې مقاله کې، موږ به د میټریکس ټاکونکي او معکوسونو مثالونو په اړه بحث وکړو، د جامع بحث سره.
د میټریکس ټاکونکی
ټاکونکی یو سکیلر دی چې د مربع میټریکس سره تړاو لري (یو میټریکس چې د قطارونو او ستنو ورته شمیر لري). ټاکونکی کولی شي د میټریکس د ملکیتونو په اړه مهم معلومات چمتو کړي، لکه ایا دا بدلیدونکی دی یا نه.
د مثال پوښتنه ۲: د ۳×۳ میټریکس ټاکونکی
د میټریکس \( A \) په لاندې ډول ورکړل شوی:
\[
الف = \ پیل {pmatrix}
۱۰ او ۱۲ \\
2 او 1
\ پای {pmatrix}
\]
د میټریکس \( A \) ټاکونکی معلوم کړئ.
بحث:
د 2×2 میټریکس لپاره، ټاکونکی د لاندې ساده فورمول په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[
\text{det}(A) = اعلان – bc
\]
چیرته چې \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
د میټریکس د عناصرو ځای ناستی \( A \):
\[
\text{det}(A) = (۴ \وختونه ۱) – (۳ \وختونه ۲) = ۴ – ۶ = -۲
\]
نو، د میټریکس \( A \) ټاکونکی -2 دی.
د مثال پوښتنه ۲: د ۳×۳ میټریکس ټاکونکی
د میټریکس \( B \) په لاندې ډول ورکړل شوی:
\[
ب = \ پیل { پی میټریکس}
۲ او ۳ او ۱ \\
۲ او ۳ او ۱ \\
5 او 6 او 0
\ پای {pmatrix}
\]
د میټریکس \( B \) ټاکونکی معلوم کړئ.
بحث:
د ۳×۳ میټریکس لپاره، ټاکونکی د سارس د قاعدې یا کوفیکٹرونو په کارولو سره محاسبه کیدی شي. دلته، موږ به د محاسبې ساده کولو لپاره د سارس د قاعدې څخه کار واخلو.
د میټریکس په ښي اړخ کې لومړني دوه ستنې نقل کړئ:
\[
متن{det}(B) = پیل{vmatrix}
۲ او ۳ او ۱ \\
۲ او ۳ او ۱ \\
5 او 6 او 0
\ پای {vmatrix}
= ۱\cdot1\cdot0 + ۲\cdot4\cdot5 + ۳\cdot0\cdot6 – (۳\cdot1\cdot5 + ۲\cdot0\cdot0 + ۱\cdot4\cdot6)
\]
\[
= ۰ + ۴۰ + ۰ – (۱۵ + ۰ + ۲۴)
\]
\[
= ۱،۲۳۶ – ۶۱۸ = ۶۱۸
\]
نو، د میټریکس \( B \) ټاکونکی ۱ دی.
معکوس میټریکس
د میټریکس \( A \) معکوس (که شتون ولري) یو میټریکس \( A^{-1} \) دی چې لاندې شرایط پوره کوي:
\[
الف \cdot A^{-1} = الف^{-1} \cdot A = زه
\]
چیرته چې \( I \) د هویت میټریکس دی چې قطري عناصر یې 1 دي او نور عناصر یې 0 دي.
د مثال څلورمه پوښتنه: د ۳×۳ میټریکس معکوس
د میټریکس \( C \) په لاندې ډول ورکړل شوی:
\[
ج = \ پیل { پی میټریکس}
۱۰ او ۱۲ \\
3 او 4
\ پای {pmatrix}
\]
د میټریکس \( C \) معکوس ومومئ.
بحث:
د ۲×۲ میټریکس لپاره، معکوس د دې فورمول په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[
C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{pmatrix}
د او -ب \\
-ج او الف
\ پای {pmatrix}
\]
چیرته چې \( C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
لومړی، موږ د میټریکس \( C \) ټاکونکی محاسبه کوو:
\[
متن{det}(C) = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2
\]
بیا، په معکوس فورمول کې ځای په ځای کړئ:
\[
C^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix}
۴ او -۲ \\
-۳ او ۱
\ پای {pmatrix}
= \ پیل {pmatrix}
-۱ او ۰ \\
\frac{3}{2} او -\frac{1}{2}
\ پای {pmatrix}
\]
نو، د میټریکس \( C \) معکوس \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \) دی.
د مثال څلورمه پوښتنه: د ۳×۳ میټریکس معکوس
د میټریکس \( D \) په لاندې ډول ورکړل شوی:
\[
د = \ پیل {pmatrix}
۲ او ۳ او ۱ \\
۲ او ۳ او ۱ \\
1 او 4 او 2
\ پای {pmatrix}
\]
د میټریکس \( D \) معکوس ومومئ.
بحث:
د 3×3 یا n×n میټریکسونو لپاره، هغه عام میتود چې کارول کیږي د ایکیلون میتود یا د ملحق میتود دی. دلته، موږ به د ایکیلون میتود وکاروو.
لومړی ګام دا دی چې د زیات شوي میټریکس \( [D|I] \) جوړول وي چیرې چې \( I \) د هویت میټریکس دی:
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۳ او ۰ او ۰ او ۰ او ۱ او ۰ \\
۳ او ۰ او ۰ او ۰ او ۱ او ۰ \\
۱ او ۴ او ۲ او ۰ او ۰ او ۱
\پای{صف}\ښي]
\]
بیا، د قطار لومړني عملیات ترسره کړئ تر هغه چې موږ په چپ اړخ کې د هویت میټریکس جوړ کړو:
۴. دریمه کرښه: \( B_1 \div 1 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او \frac{۱}{۲} او \frac{۱}{۲} او ۰ او ۰ \\
۳ او ۰ او ۰ او ۰ او ۱ او ۰ \\
۱ او ۴ او ۲ او ۰ او ۰ او ۱
\پای{صف}\ښي]
\]
۲. دوهمه کرښه: \( B_2 – 3B_1 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او \frac{۱}{۲} او \frac{۱}{۲} او ۰ او ۰ \\
۰ او ۰ او -\frac{۳}{۲} او -\frac{۳}{۲} او ۱ او ۰ \\
۱ او ۴ او ۲ او ۰ او ۰ او ۱
\پای{صف}\ښي]
\]
۳. دریمه کرښه: \( B_3 – B_1 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او \frac{۱}{۲} او \frac{۱}{۲} او ۰ او ۰ \\
۰ او ۰ او -\frac{۳}{۲} او -\frac{۳}{۲} او ۱ او ۰ \\
۰ او ۴ او \frac{۳}{۲} او -\frac{۱}{۲} او ۰ او ۱
\پای{صف}\ښي]
\]
۴. دریمه کرښه: \( B_3 \div 4 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او \frac{۱}{۲} او \frac{۱}{۲} او ۰ او ۰ \\
۰ او ۰ او -\frac{۳}{۲} او -\frac{۳}{۲} او ۱ او ۰ \\
۰ او ۱ او \frac{۳}{۸} او -\frac{۱}{۸} او ۰ او \frac{۱}{۴}
\پای{صف}\ښي]
\]
۵. لومړۍ کرښه: \( B_1 – \frac{1}{2}B_3 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او ۰ او \frac{۵}{۱۶} او ۰ او -\frac{۱}{۸} \\
۰ او ۰ او -\frac{۳}{۲} او -\frac{۳}{۲} او ۱ او ۰ \\
۰ او ۱ او \frac{۳}{۸} او -\frac{۱}{۸} او ۰ او \frac{۱}{۴}
\پای{صف}\ښي]
\]
۶. دوهمه کرښه: \( B_2 \div -\frac{3}{2} \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او ۰ او \frac{۵}{۱۶} او ۰ او -\frac{۱}{۸} \\
۰ او ۰ او ۱ او ۱ او -\frac{2}{3} او ۰ \\
۰ او ۱ او \frac{۳}{۸} او -\frac{۱}{۸} او ۰ او \frac{۱}{۴}
\پای{صف}\ښي]
\]
۷. دریمه کرښه: \( B_3 – \frac{3}{8} B_2 \)
\[
\کیڼ [\ پیل { صف } سي سي سي | سي سي سي }
۱ او ۰ او ۰ او \frac{۵}{۱۶} او ۰ او -\frac{۱}{۸} \\
۰ او ۰ او ۱ او ۱ او -\frac{2}{3} او ۰ \\
۰ او ۱ او ۰ او -\frac{1}{4} او \frac{1}{6} او \frac{1}{4}
\پای{صف}\ښي]
\]
نو، د میټریکس \( D \) معکوس \( \begin{pmatrix} \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \) دی.
د مفاهیمو او مشخصو مثالونو په پوهیدو سره، موږ لیدلی شو چې د میټریکسونو د ټاکلو او معکوسو محاسبه د نسبتا ساده میتودونو په کارولو سره ترسره کیدی شي، مګر د معلوماتو تحلیل او د ډیرو پیچلو ریاضيکي ستونزو حل کولو کې د پام وړ اغیزه لري. دا پوهه په مختلفو غوښتنلیکونو کې اړینه ده، پشمول د کمپیوټر ګرافیک، د معلوماتو تحلیل، او د خطي مساواتو سیسټمونه.
