د حسابي لړۍ په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنو
د حساب ترتیبونه په ریاضي کې یو بنسټیز مفهوم دی چې ډیری وختونه په مختلفو ستونزو کې څرګندیږي، دواړه په ثانوي ښوونځي او لوړو زده کړو کې. دا مفهوم د شمېرو ترتیب لري چیرې چې هر اصطلاح د تیرې مودې څخه د ثابت شمیرې د اضافه کولو یا کمولو پایله ده. پدې مقاله کې، موږ به د حساب ترتیبونو مفهوم نور پوهیدو لپاره د څو مثالونو ستونزو او د هغوی حلونو په اړه بحث وکړو.
د حساب لړۍ پوهیدل
د حساب لړۍ هغه لړۍ ده چې د دوو پرله پسې اصطلاحاتو ترمنځ دوامداره توپیر (توپیر) لري. د مثال په توګه، که چیرې د حساب لړۍ لومړۍ اصطلاح \(a\) او توپیر \(d\) ولري، نو اصطلاحات په لاندې ډول لیکل کیدی شي:
\[ الف، الف + د، الف + ۲د، الف + ۳د، \ldots \]
که موږ غواړو د دې لړۍ نهمه اصطلاح پیدا کړو، د نهمې اصطلاح ((U_n\)) لپاره فورمول دا دی:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
په عین حال کې، د ریاضي لړۍ (\(S_n\)) د لومړیو n اصطلاحاتو مجموعه د دې فورمول په کارولو سره محاسبه کیدی شي:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
نمونې پوښتنې او بحث
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د حسابي لړۍ ورکړل شوې چې لومړۍ اصطلاح \(a = 5\) او عام توپیر \(d = 3\) لري. د لړۍ لسمه اصطلاح ومومئ.
بحث:
د لسمې اصطلاح (\(U_{10}\)) موندلو لپاره، موږ کولی شو د نهمې اصطلاح فورمول وکاروو:
\[ U_{10} = الف + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
نو، د لړۍ لسمه دوره ۳۲ ده.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د حسابي لړۍ د لومړیو ۱۵ اصطلاحاتو مجموعه ومومئ چې لومړۍ اصطلاح یې \(a = 4\) ده او عام توپیر یې \(d = 7\) دی.
بحث:
د لومړیو ۱۵ اصطلاحاتو (\(S_{15}\)) د مجموعې موندلو لپاره، موږ کولی شو د لومړیو n اصطلاحاتو د مجموعې لپاره فورمول وکاروو:
\[ ث_{۱۵} = \frac{۱۵}{۲} (۲الف + (۱۵-۱)د) \]
\[ ث_{۱۵} = \frac{۱۵}{۲} (۲ \cdot ۴ + ۱۴ \cdot ۷) \]
\[ ث_{۱۵} = \frac{۱۵}{۲} (۸ + ۹۸) \]
\[ ث_{۱۵} = \frac{۱۵}{۲} \cdot ۱۰۶ \]
\[ ث_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ ث_{15} = 795 \]
نو، د لړۍ د لومړیو ۱۵ اصطلاحاتو مجموعه ۷۹۵ ده.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: دا معلومه ده چې د حسابي لړۍ پنځمه اصطلاح ۲۰ ده او دولسمه اصطلاح ۴۸ ده. د لړۍ لومړۍ اصطلاح ((a\)) او عام توپیر (\(d\)) ومومئ.
بحث:
د ورکړل شویو شرایطو څخه:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
موږ دوه خطي معادلې لرو چې دوه متغیرونه لري چې موږ یې حل کولی شو:
۲. \( الف + ۱۱د = ۴۸ \)
۲. \( الف + ۱۱د = ۴۸ \)
د ۱ معادلې څخه، موږ کولی شو \(a\) د \(d\) په شرایطو کې څرګند کړو:
\[ الف = ۲۰ – ۴د \]
اوس موږ \(a\) په دوهمه معادله کې ځای په ځای کوو:
\[ ۲۰ – ۴ ورځې + ۱۱ ورځې = ۴۸ \]
\[ ۲۰ + ۷ ورځې = ۴۸ \]
\[ درېیم = ۱۵ \]
\"d = 4 \]
اوس موږ د \(d\) ارزښت په معادلې \(a = 20 – 4d\) کې ځای په ځای کوو:
\[ الف = ۲۰ – ۴ \cdot ۴ \]
\[ الف = ۲۰ – ۱۶ \]
\"a = 4 \]
نو، د لړۍ لومړۍ اصطلاح 4 ده او عام توپیر یې 4 دی.
بېلګه پوښتنه ۱
پوښتنه: د حسابي لړۍ لپاره څو اصطلاحاتو ته اړتیا ده چې لومړۍ اصطلاح \(a = 2\) او عام توپیر \(d = 5\) یې 200 ته ورسیږي؟
بحث:
په دې حالت کې، موږ باید د لومړیو n اصطلاحاتو مجموعه (\(S_n\)) ومومو چې د 200 سره مساوي وي. د لومړیو n اصطلاحاتو د مجموعې لپاره فورمول وکاروئ:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
د \(a\) او \(d\) ارزښتونه ځای په ځای کړئ:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\"frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\"frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ ن (۵ ن – ۱) = ۴۰۰ \]
دا یوه څلور اړخیزه معادله ده. د حل کولو لپاره، موږ یې بڼه بدلوو:
\[ ۵n^۲ – ن – ۴۰۰ = ۰ \]
د څلور اړخیز فورمول \(ax^2 + bx + c = 0\) څخه کار واخلئ:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
په دې حالت کې \(a = 5\)، \(b = -1\)، او \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ ن = \frac{۱ \pm \sqrt{۱ + ۸۰۰۰}}{۱۰} \]
\[ ن = \frac{۱ \pm \sqrt{۸۰۰۱}}{۱۰} \]
د \(\sqrt{8001}\) ارزښت 89.42 ته نږدې دی، بیا:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
موږ مثبت ارزښتونه اخلو:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \تقریبا \frac{90.42}{10} \]
\[ n \شاوخوا 9.042 \]
نو، د اړینو اصطلاحاتو شمیر 9 اصطلاحات دي (که ګرد شي).
پایله
د حسابي ترتیبونو موضوع په ریاضي کې یوه مهمه موضوع ده. د لومړي اصطلاح، عام توپیر، نهم اصطلاح، او د لومړي n اصطلاحونو مجموعې بشپړه پوهه د مختلفو ستونزو د حل لپاره ارزښتناکه ده. د پورته مثالونو او بحثونو په کارولو سره، هیله ده چې لوستونکي به د حسابي ترتیبونو د اساسي مفاهیمو ښه پوهه ترلاسه کړي.
