د پیچلو شمېرو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنو

د پیچلو شمېرو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې

پیچلي عددونه په ریاضي کې د لیسې او کالج په کچه کې ډیری وخت مخ کیږي. پیچلي عددونه دوه برخې لري: یوه حقیقي برخه او یوه خیالي برخه. د دودیزو نوټونو په کارولو سره، یو پیچلی عدد د \( z = a + bi \) په توګه لیکل کیږي، چیرې چې \( a \) او \( b \) حقیقي عددونه دي، او \( i \) خیالي واحد دی چې د \( i^2 = -1 \) ملکیت لري. دا مقاله به د پیچلو عددونو په اړه ډیری مثالونه او د هغوی بحث پوښښ کړي، د اساسي عملیاتو څخه د ستونزې حل کولو کې غوښتنلیکونو پورې.

نمونې پوښتنې او بحث

۱. د پیچلو شمېرو جمع او تفریق

پوښتنه ۴
اجازه راکړئ \( z_1 = 3 + 4i \) او \( z_2 = 1 – 2i \). محاسبه کړئ \( z_1 + z_2 \) او \( z_1 – z_2 \).

بحث
د پیچلو شمېرو د اضافه کولو یا کمولو لپاره، موږ په ساده ډول اصلي برخه د حقیقي سره او خیالي برخه د خیالي سره کاروو.

اضافه کول:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]

منفي کول:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]

نو، \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) او \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).

۲. د پیچلو شمېرو ضرب

پوښتنه ۴
د \( z_1 = 2 + 3i \) محصول د \( z_2 = 4 – i \) په واسطه محاسبه کړئ.

بحث
د دوو پیچلو شمېرو د ضربولو لپاره، موږ د الجبرا د ویشونکي ملکیت څخه کار اخلو:

\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]

موږ هر جز ضرب کوو:

\[
۲ \cdot ۴ + ۲ \cdot (-i) + ۳i \cdot ۴ + ۳i \cdot (-i)
\]

\[
= ۸ – ۲i + ۱۲i – ۳i^۲
\]

څرنګه چې \( i^2 = -1 \)، نو:

\[
= ۸ – ۲i + ۱۲i + ۳ = ۱۱ + ۱۰i
\]

نو، محصول \( z_1 \cdot z_2 \) \( 11 + 10i \) دی.

۳. د پیچلو شمېرو ویش

پوښتنه ۴
د \( z_1 = 3 + 4i \) برخه د \( z_2 = 1 – i \) په واسطه محاسبه کړئ.

بحث
د یوې پیچلې عدد د ویشلو لپاره، موږ د عدد او مخرج د مخرج د مخرج سره ضرب کوو. د \( 1 – i \) مخرج \( 1 + i \) دی.

\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]

راځئ چې لومړی مخرج محاسبه کړو:

\[
(۱ – i)(۱ + i) = ۱ – i^۲ = ۱ – (-۱) = ۲
\]

اوس موږ شمېر محاسبه کوو:

\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]

نو، پایله دا ده:

\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]

۴. د پیچلو شمېرو ماډول او استدلال

پوښتنه ۴
د \( z = 1 + i \) ماډول او استدلال معلوم کړئ.

بحث
د پیچلي عدد \( z = a + bi \) ماډول دا دی:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

د \( z = 1 + i \) لپاره، موږ \( a = 1 \) او \( b = 1 \) لرو:

\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]

د یوې پیچلې عدد دلیل هغه زاویه \( \theta \) ده چې د مثبت اصلي محور سره جوړه شوې ده، چې د اصلي ځای څخه د نقطې \( (a, b) \) په لور اندازه کیږي.

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]

\[
\theta = \tan^{-1}(1) = frac{\pi}{4}
\]

نو، د \( z = 1 + i \) ماډول \( \sqrt{2} \) دی او دلیل یې \( \frac{\pi}{4} \) دی.

۵. د یولر نمونه او د ظهور بڼه

پوښتنه ۴
پیچلې شمېره \( z = 1 + i \) په ضرباتي بڼه بدله کړئ.

بحث
د یولر فورمول په کارولو سره د پیچلو شمېرو د ظهور بڼه:

\[
z = ری^{i\تیټا}
\]

چیرته چې \( r \) ماډول دی او \( \theta \) دلیل دی. د تیرو بحثونو څخه، موږ پوهیږو چې:

\[
r = \sqrt{2}، \کواډ \تیټا = \frac{\pi}{4}
\]

نو، د اټکلي بڼه دا ده:

\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]

۶. د پیچلو شمېرو ریښې

پوښتنه ۴
د پیچلي عدد \( z = -1 \) مربع ریښې ومومئ.

بحث
د پیچلو عددونو مربع ریښې د قطبي یا کثافاتي بڼې په کارولو سره موندل کیدی شي. موږ \( z = -1 \) کثافاتي بڼې ته بدلوو:

\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]

د \( e^{i\pi} \) مربع ريښه په لاندې ډول ليکل کېدای شي:

\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]

د \( r = 1 \)، \( \theta = \pi \)، \( n = 2 \)، او \( k = 0، 1 \) سره:

\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]

\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]

نو، د \( -1 \) مربع ريښې \( i \) او \( -i \) دي.

۷. په څلور اړخیزه معادلو کې غوښتنلیکونه

پوښتنه ۴
څلور اړخیزه معادله \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) حل کړئ.

بحث
موږ کولی شو د څلور اړخیز فورمول څخه کار واخلو:

\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

د معادلې لپاره \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):

\[
الف = ۱، ب = ۴، ج = ۱۳
\]

\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]

نو، د \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) حلونه \( z = -2 + 3i \) او \( z = -2 – 3i \) دي.

پایله

پیچلي عددونه یو ډیر پراخ ریاضيکي مفهوم دی چې ډیری غوښتنلیکونه لري. د بنسټیزو عملیاتو لکه اضافه، منفي، ضرب او ویش، او همدارنګه د ماډول او استدلال محاسبه کولو په پوهیدو سره، موږ کولی شو د پیچلو عددونو پورې اړوند مختلفې ستونزې حل کړو. هیله ده چې پورته مثالونه به تاسو سره د دې موضوع په ښه پوهیدو او مهارت کې مرسته وکړي.