د تشو د ډکولو د قواعدو په اړه د بحث کولو لپاره د مثال پوښتنې
د ځای ډکولو قاعده، یا د ځای پرځای کولو قاعده، په ریاضي او احتمال کې یو بنسټیز مفهوم دی چې په ډیری حالتونو کې خورا ګټور دی. دا قاعده معمولا د شیانو د تنظیم کولو په شرایطو کې په ځانګړي ترتیب یا مختلف ترتیبونو کې کارول کیږي. پدې مقاله کې، موږ به د ځای ډکولو قاعدې سره تړلو څو مثالي ستونزو په اړه بحث وکړو، چې د هر یو لپاره مفصل حلونه چمتو کوو.
پنډاهولوان
د تشې ډکول یو عام تخنیک دی چې په ترکیب کې کارول کیږي، د ریاضیاتو یوه برخه چې د شیانو ترتیب، ترکیب او انتخاب مطالعه کوي. د ترکیب یو له اساسي اصولو څخه د ضرب قاعده ده، کوم چې وايي که چیرې په یوه پروسه کې څو مرحلې وي او هره مرحله یو ټاکلی شمیر انتخابونه ولري، نو د ممکنه ترتیباتو ټول شمیر په هره مرحله کې د انتخابونو شمیر ضرب کولو سره موندل کیدی شي.
د مثال په توګه، که موږ دوه مرحلې ولرو چیرې چې لومړۍ مرحله \(m\) انتخابونه لري او دوهمه مرحله \(n\) انتخابونه لري، نو د ممکنه ترتیباتو ټول شمیر \(m \times n\) دی.
راځئ چې دا مفهوم د ځینو مثالي ستونزو د حل لپاره پلي کړو.
بېلګه ۱: په المارۍ کې د کتابونو ترتیب کول
پوښتنه:
دلته پنځه مختلف کتابونه او د کتابونو یوه الماری شته چې پنځه ځایونه یې ډک دي. پنځه کتابونه په الماری کې په څو لارو تنظیم کیدی شي؟
بحث:
په دې حالت کې، موږ اړتیا لرو چې پنځه کتابونه په پنځو مختلفو ځایونو کې تنظیم کړو. دا د بدلون ستونزه ده ځکه چې ترتیب خورا مهم دی. موږ کولی شو د دې ستونزې د حل لپاره د ځای ډکولو قاعده یا د ضرب قاعده وکاروو.
۱. د لومړۍ خونې لپاره، موږ د کتابونو ۵ انتخابونه لرو.
۲. وروسته له دې چې یو کتاب په لومړۍ خونه کې کیښودل شي، موږ د دوهمې خونې لپاره د کتابونو څلور انتخابونه لرو.
۳. د دریمې خونې لپاره، موږ د کتابونو ۳ انتخابونه پاتې دي، او داسې نور.
د ټولو ترتیباتو شمیر لپاره معادله دا ده:
\[ ۵ \ ځله ۴ \ ځله ۳ \ ځله ۲ \ ځله ۱ = ۵! = ۱۲۰ \]
نو، د پنځو کتابونو د تنظیم کولو لپاره ۱۲۰ لارې شتون لري.
دوهمه بېلګه: د مختلفو تورو څخه کلمې جوړول
پوښتنه:
د "ریاضي" کلمې د ټولو تورو په کارولو سره څو مختلف کلمې جوړېدای شي، پرته له دې چې تکرار یې شي؟
بحث:
موږ باید لومړی وګورو چې د "ریاضي" په کلمه کې څومره توري دي. ۱۱ توري شته، چې ځینې یې تکرار شوي دي. تکرار شوي توري دا دي:
- تر ۲ پورې
- تر ۳ پورې
- تر ۲ پورې
– نور توري (E، I، K) هر یو یو ځل څرګندیږي.
موږ د تکراري عناصرو لپاره د بدلون فورمول کاروو، یعنې:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
چیرې چې \( n \) د عناصرو (حروفو) ټولټال شمیر دی او \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) د هر ځانګړي عنصر د تکرار شمیر دی.
د "ریاضي" کلمې سره:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
نو د هغو کلمو شمېر چې جوړیدای شي دا دی:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
دلته ۱۶۶۳۲۰۰ مختلف کلمې شتون لري چې جوړیدای شي.
۳ بېلګه: په مارتاباک کې د ترکیبونو شمیر ټاکل
پوښتنه:
د مارتاباک پلورونکی پنځه ډکولو انتخابونه وړاندې کوي (پنیر، چاکلیټ، مونګ، کیله، او ممیز). که چیرې یو پیرودونکی وغواړي چې د خپل مارتاباک لپاره له پنځو ډکولو څخه درې غوره کړي، نو دوی څو مختلف ترکیبونه غوره کولی شي؟
بحث:
دا د ترکیب ستونزه ده، نه د بدلون، ځکه چې ترتیب غیر مهم دی. موږ د ترکیب فورمول کاروو:
\"C(n, k) = frac{n!}{k!(nk)!} \]
چیرې چې \( n \) د انتخابونو ټولټال شمیر دی، او \( k \) د اخیستل شویو انتخابونو شمیر دی.
د دې قضیې لپاره، \( n = 5 \) او \( k = 3 \)، نو:
\[ ج(۵، ۳) = \frac{۵!}{۳!(۵-۳)!} = \frac{۵!}{۳! \وختونه ۲!} = \frac{۱۲۰}{۶ \وختونه ۲} = \frac{۱۲۰}{۱۲} = ۱۰ \]
د پنځو انتخابونو څخه د دریو منځپانګو غوره کولو لپاره ۱۰ مختلف ترکیبونه شتون لري.
څلورمه بېلګه: په یوه لوبه کې د ګډون کوونکو ترتیب
پوښتنه:
په یوه منډه کې ۸ ګډونوال وي. په څو لارو کې غوره ۳ پای ته رسیدونکي ځای پر ځای کیدی شي؟
بحث:
دا د تکرار پرته د بدلون ستونزه ده ځکه چې موقعیت معنی لري چې ترتیب مهم دی. موږ د بدلون فورمول کاروو:
\"P(n, k) = frac{n!}{(nk)!} \]
د دې قضیې لپاره، \( n = 8 \) او \( k = 3 \)، بیا:
\[ مخ(۸، ۳) = \frac{۸!}{(۸-۳)!} = \frac{۸!}{۵!} = \frac{۴۰۳۲۰}{۱۲۰} = ۳۳۶ \]
نو، د 8 ګډونوالو د دریو غوره مقامونو د ځای په ځای کولو لپاره 336 لارې شتون لري.
په دې مقاله کې، موږ په مختلفو حالاتو کې د ځای ډکولو قواعدو په کارولو سره د څو مثالونو ستونزو او د هغوی د حل لارو په اړه بحث کړی دی: په المارۍ کې د کتابونو تنظیم کولو څخه نیولې د سیالۍ ګټونکي ټاکلو پورې. د دې اساساتو پوهیدل به تاسو ته د مختلفو ترکیبي او احتمالي ستونزو په حل کولو کې ډیر باور درکړي چې تاسو ورسره مخ کیدی شئ.
