Twierdzenie o ekwipartycji energii zostało teoretycznie wyprowadzone przez Clerka Maxwella za pomocą mechaniki statystycznej. Nazywa się je twierdzeniem, ponieważ nie ma na nie dowodu eksperymentalnego. Ekwipartycja energii oznacza równomierny rozkład energii.
Energia kinetyczna ruchu translacyjnego pochodzi z ruchu translacyjnego, który ma trzy składowe prędkości: oś x, oś y i oś z. Te trzy składowe prędkości wyjaśniają, dlaczego w powyższym równaniu pojawia się liczba 3. Każda składowa prędkości nazywana jest stopniem swobody. Ponieważ istnieją trzy składowe prędkości, energia kinetyczna ruchu translacyjnego ma trzy stopnie swobody.
Twierdzenie ekwipartycji energii głosi, że energia musi być równomiernie rozłożona na wszystkie stopnie swobody. Zatem średnia energia na każdy stopień swobody wynosi 1⁄2 kT.
Cząsteczki gazu jednoatomowego
Jednoatomowe cząsteczki gazu wykonują wyłącznie ruch translacyjny, dlatego też mają 3 stopnie swobody.
Średnia energia kinetyczna każdej cząsteczki gazu jednoatomowego wynosi:
3 (1⁄2 kT) = 3/2 kT = 3/2 nRT.
Pojemność cieplna cząsteczek gazu jednoatomowego:
C = 3/2 R = 3/2 (8,315 J/mol.K) = 12,47 J/kg.K
Cząsteczki gazu dwuatomowego
Oprócz ruchu translacyjnego, cząsteczki gazu dwuatomowego wykonują również ruch obrotowy i drgający. Liczba stopni swobody dla ruchu translacyjnego wynosi 3. Ile stopni swobody ma ruch obrotowy i drgający?
Istnieją trzy osie obrotu: x, y i z. Ruch obrotowy wokół osi x nie jest uwzględniany w obliczeniach, ponieważ dwa atomy tworzące cząsteczkę pokrywają się z osią obrotu. Gdy pokrywają się one z osią x, moment bezwładności obu atomów = 0. Zatem liczba stopni swobody dla ruchu obrotowego = 2.
Średnia energia każdej dwuatomowej cząsteczki gazu wynosi:
3(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) = 5/2 kT = 5/2 nRT.
Pojemność cieplna cząsteczek gazu dwuatomowego:
C = 5/2 R = 5/2 (8,315 J/mol.K) = 20,79 J/kg.K
Teoretycznie otrzymana pojemność cieplna cząsteczek jest nieznacznie większa od rzeczywistej pojemności cieplnej. 
dwuatomowe cząsteczki gazu uzyskane w drodze eksperymentów.
Podczas drgań cząsteczki gazu dwuatomowego posiadają dwa rodzaje energii: energię kinetyczną i energię potencjalną sprężystości. Dlatego liczba stopni swobody ruchu drgającego wynosi 2.
Średnia energia każdej dwuatomowej cząsteczki gazu wynosi:
3(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) + 2(1⁄2 kT) = 7/2 kT = 7/2 nRT.
Pojemność cieplna cząsteczek gazu dwuatomowego:
C = 7/2 R = 7/2 (8,315 J/mol.K) = 29,1 J/kg.K
Proszę porównać ten wynik z pojemnością cieplną cząsteczek gazu dwuatomowego uzyskaną eksperymentalnie. Różnica jest znacząca. Cząsteczki gazu dwuatomowego mają 7 stopni swobody (ruch translacyjny, obrotowy i wibracyjny), dlatego pojemność cieplna cząsteczek gazu dwuatomowego uzyskana eksperymentalnie powinna wynosić około 29,1 J/kg.J.
Wpływ ruchu wibracyjnego na ciepło właściwe cząsteczek gazu dwuatomowego zależy również od zakresu temperatur (T). Poprzednie eksperymenty przeprowadzono w stosunkowo wąskim zakresie temperatur. Najnowsze eksperymenty przeprowadzone w szerszym zakresie temperatur wykazały, że ciepło właściwe cząsteczek gazu również zależy od zakresu temperatur. Aby lepiej zrozumieć to zagadnienie, przyjrzyjmy się zmienności ciepła właściwego cząsteczek wodoru w różnych temperaturach.
Zmiana pojemności cieplnej cząsteczek wodoru w różnych temperaturach.
Wodór (H2) w tym gazy dwuatomowe. Ilustracja z boku przedstawia zmiany pojemności cieplnej cząsteczek wodoru w różnych temperaturach. Wartość pojemności cieplnej cząsteczek wodoru wynosząca 5/2 R = 20,79 J/kg.K występuje jedynie w zakresie temperatur od około 250 K do 750 K. Poniżej 250 K, pojemność cieplna cząsteczek wodoru regularnie spada, aż do osiągnięcia 3/2 R = 12,47 J/kg.K. I odwrotnie, powyżej 750 K, pojemność cieplna cząsteczek wodoru regularnie rośnie, aż do osiągnięcia 7/2 R = 29,1 J/kg.K.
Na podstawie tego faktu możemy stwierdzić, że w niskich temperaturach cząsteczki gazu wykonują wyłącznie ruch translacyjny. Wraz ze wzrostem temperatury cząsteczki gazu wykonują jedynie ruch obrotowy. W wysokich temperaturach cząsteczki gazu zderzają się ze sobą, powodując, że atomy tworzące cząsteczki wykonują ruch drgający. Zatem te trzy rodzaje ruchu zachodzą etapami: najpierw ruch translacyjny (niskie temperatury), następnie ruch translacyjny + ruch obrotowy (średnie temperatury), a na końcu ruch translacyjny + ruch obrotowy + drgania (wysokie temperatury). Ruch drgający występuje tylko wtedy, gdy cząsteczki gazu zderzają się ze sobą.
Nie dotyczy to wyłącznie wodoru, ale dotyczy również innych gazów. Naukowcy odkryli, że pojemność cieplna cząsteczek gazu również zmienia się wraz z temperaturą. Zmiany te są podobne do tych, które występują w przypadku wodoru, ale ponieważ struktura każdego gazu jest inna (liczba i rodzaje zawartych w nim atomów), zmiany pojemności cieplnej zachodzą również w różnych zakresach temperatur.
Twierdzenie ekwipartycji energii głosi, że całkowita energia musi być równomiernie rozłożona na każdym stopniu swobody. W rzeczywistości dodatkowa energia pozyskiwana przez cząsteczki gazu nie jest równomiernie rozłożona na każdym stopniu swobody, lecz rozkłada się stopniowo. Co więcej, równanie na cząsteczkową pojemność cieplną gazu, które wyprowadziliśmy teoretycznie w oparciu o kinetyczną teorię gazów, mówi, że cząsteczkowa pojemność cieplna zależy tylko od R (1/2 R na każdy stopień swobody). W rzeczywistości na cząsteczkową pojemność cieplną wpływa również temperatura (T).
Można wyciągnąć kilka wniosków. Po pierwsze, twierdzenie o ekwipartycji energii wywodzi się z klasycznej mechaniki statystycznej, która opiera się na prawach mechaniki Newtona. Po drugie, kinetyczna teoria gazów, której używamy do wyjaśnienia ruchu cząsteczek gazu, również opiera się na prawach mechaniki Newtona. Ponieważ twierdzenie o ekwipartycji energii i kinetyczna teoria gazów zostały naruszone, można wnioskować, że prawa mechaniki Newtona nie są w stanie wyjaśnić ruchu zachodzącego na poziomie atomowym lub molekularnym. Innymi słowy, mechanika Newtona, czyli mechanika klasyczna, może wyjaśnić jedynie ruch materii w dużej skali.
