Fale stojące – problemy i rozwiązania
1. Sznurek o długości 3 m jest przywiązany do jednego końca, a drugi koniec jest podłączony do wibratora. Podczas wibrowania wibratora sznurek tworzy falę stacjonarną , jak pokazano na poniższym rysunku.
Określ położenie piątego antywęzła od końca nieruchomego.
rozwiązanie:
Odległość między dwoma węzłami = 3 metry / 5 = 3/5 metra.
Odległość między pierwszym węzłem a końcem stałym = 3/5 metra
Odległość między drugim węzłem a końcem stałym = 2 (3/5 metra) = 6/5 metra
Odległość między trzecim węzłem a końcem stałym = 3 (3/5 metra) = 9/5 metra
Odległość między czwartym węzłem a końcem stałym = 4 (3/5 metra) = 12/5 metra
Odległość między węzłem i antywęzłem = 1/2 (3/5 metra) = 3/10 metra.
Odległość między piątym antywęzłem a końcem nieruchomym = odległość między czwartym węzłem a końcem nieruchomym + odległość między węzłem a antywęzłem = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metra.
2. Jak pokazano na poniższym rysunku, jeden koniec jest podłączony do wibratora, a drugi jest zamocowany. Jeśli długość sznurka wynosi 1.5 metra, znajdź odległość między czwartym węzłem a wibratorem.
rozwiązanie:
Odległość między dwoma węzłami = 1.5 metra / 11 = 1.5 / 11 metrów.
Odległość między pierwszym węzłem a wibratorem = 1.5 / 11 metrów
Odległość między drugim węzłem a wibratorem = 2 (1.5 / 11 metrów) = 3/11 metrów
Odległość między trzecim węzłem a wibratorem = 3 (1.5 / 11 metrów) = 4.5 / 11 metrów
Odległość między czwartym węzłem a wibratorem = 4 (1.5 / 11 metrów) = 6/11 metrów = 0.54 metra
3. Struna ma oba końce zamocowane na stałe, co generuje dźwięk podstawowy o częstotliwości 420 Hz. Określ trzeci alikwot.
A. 840 Hz
B. 1260 Hz
C. 1680 Hz
D. 2940 Hz
Znany:
Częstotliwość podstawowa (f 1 ) = 420 Hz
Oba końce pozostają nieruchome.
Poszukiwany: trzeci alikwot
rozwiązanie:
Pierwszy alikwot (f 2 ) = 2 f 1 = 2 (420 Hz) = 840 Hz
Drugi alikwot (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
Trzeci alikwot (f 4 ) = 4 f 1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
Prawidłowa odpowiedź to C.
4. Długość fali pierwszego alikwotu struny wynosi 40 cm. Jeśli prędkość fali dźwiękowej w powietrzu wynosi 340 m/s, określ trzeci alikwot.
A. 850 Hz
B. 1600 Hz
C. 1700 Hz
D. 3200 Hz
Znany:
Długość fali pierwszego alikwotu (λ) = 40 cm = 0.4 metra
Prędkość fali dźwiękowej w powietrzu (v) = 340 metrów na sekundę
Poszukiwana: częstotliwość trzeciego alikwotu
rozwiązanie:
Poniżej znajduje się rysunek fali stojącej na strunie, której oba końce są unieruchomione. Najpierw oblicz długość struny, używając długości fali pierwszego alikwotu. Następnie, przed obliczeniem częstotliwości trzeciego alikwotu, najpierw oblicz długość fali trzeciego alikwotu.
Długość fali pierwszego alikwotu:
Długość sznurka (L) = 2, ½ λ
Długość sznurka (L) = λ
Długość sznurka (L) = 0.4 metra
Długość fali trzeciego alikwotu:
L = 2λ
0.4 = 2λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 metra
Częstotliwość trzeciego alikwotu:
f = v / λ
f = 340 : 0.2
f = 1700 herców
Prawidłowa odpowiedź to C.
5. Rurka otwarta z obu stron i o długości 40 cm generuje ton podstawowy o częstotliwości 420 Hz. Określ drugi alikwot.
A. 380 Hz
B. 460 Hz
C. 840 Hz
D. 1260 Hz
Znany:
Długość rury (L) = 40 cm = 0.4 metra
Częstotliwość tonu podstawowego (f 1 ) = 420 herców
Poszukiwane: Częstotliwość drugiego alikwotu (f 3 )
rozwiązanie:
Jeśli ton podstawowy (f 1 ) = 420 herców, to drugi alikwot (f 3 ) = 3 f 1 = 3 (420 herców) = 1260 herców
Prawidłowa odpowiedź to D.
6. Fala dźwiękowa w zamkniętej rurze ma wzór falowy podobny do…
A. Propagacja fali na strunie
B. Propagacja fali w kolumnie powietrza
C. Fala stojąca na strunie zamocowanej na jednym końcu
D. Fala stojąca na strunie zamocowanej na obu końcach
rozwiązanie:
Rura zamknięta to rura otwarta z jednej strony i zamknięta z drugiej, jak pokazano na rysunku powyżej.
Prawidłowa odpowiedź to C.
20 pytań i odpowiedzi koncepcyjnych związanych z falami stojącymi:
1. Pytanie: Czym jest fala stojąca?
Odpowiedź: Fala stojąca to wzór falowy, który wydaje się pozostawać stacjonarny, z węzłami i antywęzłami, powstający w wyniku interferencji dwóch fal rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.
2. Pytanie: Czym różnią się węzły i antywęzły?
Odpowiedź: Węzły to punkty o zerowej amplitudzie, w których fala pozostaje w spoczynku, natomiast antywęzły to punkty o maksymalnej amplitudzie.
3. Pytanie: Czy fale stojące mogą powstawać w dowolnym ośrodku?
Odpowiedź: Fale stojące mogą powstawać w dowolnym ośrodku, który umożliwia rozchodzenie się fal, na przykład w strunach, słupach powietrza i wodzie.
4. Pytanie: Jaki jest związek częstotliwości fali stojącej z jej liczbą harmoniczną?
Odpowiedź: Częstotliwość podstawowa (pierwsza harmoniczna) to najniższa częstotliwość fali stojącej. Wyższe harmoniczne mają częstotliwości będące całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.
5. Pytanie: Co decyduje o położeniu węzłów w fali stojącej?
Odpowiedź: Węzły powstają w miejscach, gdzie fale biegnące w przeciwnych kierunkach zakłócają się wzajemnie, znosząc się.
6. Pytanie: W jaki sposób powstają fale stojące na strunie zamocowanej na obu końcach?
Odpowiedź: Kiedy fala biegnąca wzdłuż struny odbija się od nieruchomego końca, to interferuje z falami przychodzącymi, tworząc wzór fali stojącej, jeśli częstotliwości spełniają określone warunki.
7. Pytanie: Jaki jest związek pomiędzy długością fali i długością ośrodka w fali stojącej?
Odpowiedź: W przypadku struny zamocowanej na obu końcach długość ośrodka jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali stojącej.
8. Pytanie: Dlaczego fale stojące nie przenoszą energii przez ośrodek?
Odpowiedź: Podczas gdy poszczególne cząstki w ośrodku oscylują, ogólny wzór fal pozostaje stacjonarny, więc nie występuje transport energii netto w żadnym konkretnym kierunku.
9. Pytanie: Czy można zaobserwować fale stojące w rurach otwartych?
Odpowiedź: Tak, fale stojące mogą powstawać w rurach otwartych, ale warunki brzegowe różnią się od warunków w rurach zamkniętych i wpływają na położenie węzłów i antywęzłów.
10. Pytanie: Co dzieje się z falą stojącą, gdy zwiększa się naprężenie struny?
Odpowiedź: Zwiększenie napięcia zwiększa prędkość fali, co może zmienić częstotliwość i wzór fali stojącej.
11. Pytanie: Jaki jest związek rezonansu z falami stojącymi?
Odpowiedź: Rezonans występuje wtedy, gdy siła zewnętrzna lub wibracja zgrywa się z naturalną częstotliwością układu, tworząc wyraźną falę stojącą.
12. Pytanie: Jaka jest częstotliwość podstawowa?
Odpowiedź: Częstotliwość podstawowa, czyli pierwsza harmoniczna, to najniższa częstotliwość, przy której układ może wytworzyć falę stojącą.
13. Pytanie: Jaki jest związek między alikwotami a harmonicznymi?
Odpowiedź: Alikwoty to częstotliwości powyżej częstotliwości podstawowej. Pierwszy alikwot odpowiada drugiej harmonicznej, drugi alikwot odpowiada trzeciej harmonicznej i tak dalej.
14. Pytanie: Dlaczego nie ma przemieszczeń w węzłach?
Odpowiedź: W węzłach dwie fale interferencyjne są przesunięte w fazie o 180°, co powoduje destrukcyjną interferencję i zerowe przesunięcie.
15. Pytanie: Czy fale stojące można spolaryzować?
Odpowiedź: Fale stojące na strunie są poprzeczne i dlatego mają kierunek drgań (polaryzację). Jednak w ośrodku takim jak powietrze, fale stojące są podłużne i nie wykazują polaryzacji.
16. Pytanie: Dlaczego instrumenty muzyczne wykorzystują zasadę fal stojących?
Odpowiedź: Instrumenty muzyczne często wytwarzają dźwięk poprzez tworzenie fal stojących, przy czym różne harmoniczne wytwarzają różne nuty muzyczne.
17. Pytanie: Jaki jest związek między prędkością fali a częstotliwością i długością fali stojącej?
Odpowiedź: Prędkość fali (v) jest iloczynem częstotliwości (f) i długości fali (λ): v = fx λ.
18. Pytanie: Czy dwie różne częstotliwości mogą wytwarzać fale stojące w tym samym ośrodku?
Odpowiedź: Tak, o ile częstotliwości odpowiadają warunkom fal stojących w danym ośrodku. Każda częstotliwość reprezentuje inną harmoniczną.
19. Pytanie: Czym fale stojące w rurach zamkniętych różnią się od fal stojących w rurach otwartych?
Odpowiedź: W rurach zamkniętych jeden koniec ma węzeł, a drugi koniec ma strzałkę. W rurach otwartych oba końce mają strzałki.
20. Pytanie: Czy w danym ośrodku mogą powstawać fale stojące o dowolnej częstotliwości?
Odpowiedź: Nie, fale stojące będą powstawać tylko przy określonych częstotliwościach spełniających warunki brzegowe ośrodka.
Zrozumienie fal stojących jest kluczowe w wielu dziedzinach, od muzyki po telekomunikację, ponieważ reprezentują one podstawowe zachowania fal w określonych warunkach.
