Sprężyny w połączeniach szeregowych i równoległych – zadania i rozwiązania

Sprężyny w układzie szeregowym i równoległym – problemy i rozwiązania

1. Do jednego końca sprężyny przymocowano przedmiot o masie 160 gramów, a zmiana długości sprężyny wyniosła 4 cm. Jaka jest zmiana długości trzech sprężyny połączone szeregowo i równolegle, jak pokazano na poniższym rysunku?

Znany:

Zmiana długości sprężyny (Δx) = 4 cm = 0.04 m Sprężyny w układzie szeregowym i równoległym – zadania i rozwiązania 1

Masa (m) = 160 gramów = 0.16 kg

Przyspieszenie ziemskie (g) = 10 m/s²

Waga (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 niutonów

Poszukiwany : Zmiana długości trzech sprężyn (Δx)

rozwiązanie:

Równanie Prawo Hooke'a :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Wszystkie trzy sprężyny mają taką samą stałą k = 40 N/m.

Określ stałą równoważną:

Wiosna 2 (k₂) i wiosna 3 (k₃) tara połączona równolegle. Stała równoważna:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Wiosna 1 (k₁) i wiosna 23 (k₂₃) są połączone szeregowo. Stała równoważna:

1/k = 1/k₁ + 1/tys.₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Określ zmianę długości trzech sprężyn:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Trzy sprężyny o tej samej stałej połączone szeregowo i równoleglei obiekt o masie 2 kg przymocowany do jednego końca sprężyny, jak pokazano na poniższym rysunku. Stała sprężystości wynosi k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Jaka jest zmiana długości trzech sprężyn? Przyspieszenie grawitacyjne wynosi g = 10 ms.^-2.

Znany:

Stała sprężystości k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms^-2

Masa obiektu (m) = 2 kg

Ciężar obiektu (w) = mg = (2)(10) = 20 niutonów

Zobacz też Prawo Kirchhoffa – problemy i rozwiązania

Poszukiwany : Zmiana długości trzech sprężyn (Δx)

rozwiązanie:

Określ stałą równoważną:

Wiosna 1 (k₁) i wiosna 2 (k₂) są połączone równolegle. Stała równoważna:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Wiosna 3 (k₃) i wiosna 12 (k₁₂) są połączone szeregowo. Stała równoważna:

1/k = 1/k₃ + 1/tys.₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Określ zmianę długości trzech sprężyn:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Trzy sprężyny połączono szeregowo i równolegle, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli stała sprężystości k = 50 Nm^-1 i masę 400 gramów przymocowaną do jednego końca sprężyny. Jaka jest zmiana długości trzech sprężyn?

Znany:

Stała sprężystości 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Stała sprężystości 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Stała sprężystości 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Masa obiektu (m) = 400 gramów = 0.4 kg

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/s²

Ciężar obiektu (w) = mg = (0.4)(10) = 4 niutonów

Poszukiwany : Zmiana długości (Δx)

rozwiązanie:

Określ stałą równoważną:

Wiosna 1 (k₁) i wiosna 2 (k₂) są połączone równolegle. Stała równoważna:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Wiosna 3 (k₃) i wiosna 12 (k₁₂) są połączone szeregowo. Stała równoważna:

1/k = 1/k₃ + 1/tys.₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Określ zmianę długości trzech sprężyn:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Jak łączenie sprężyn szeregowo wpływa na ogólną stałą sprężystości?
- Odpowiedź: Łączenie sprężyn szeregowo powoduje zmniejszenie całkowitej stałej sprężystości. Odwrotność równoważnej stałej sprężystości jest sumą odwrotności poszczególnych stałych sprężystości: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Jak zmienia się całkowita stała sprężystości, gdy sprężyny są połączone równolegle?
- Odpowiedź: Połączenie sprężyn równolegle powoduje, że ogólna stała sprężyny jest sumą poszczególnych stałych sprężyny: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Jeśli dwie identyczne sprężyny zostaną ułożone szeregowo, jaka jest łączna stała sprężystości w porównaniu ze stałą sprężystości pojedynczej sprężyny?
- Odpowiedź: Łączna stała sprężystości będzie stanowić połowę stałej sprężystości jednej z poszczególnych sprężyn.

Co dzieje się z rozciąganiem lub ściskaniem sprężyn w szeregu, gdy przyłożymy siłę?
- Odpowiedź: W przypadku sprężyn połączonych szeregowo, ta sama siła powoduje rozciąganie lub ściskanie każdej sprężyny, ale całkowite rozciągnięcie (lub ściskanie) jest sumą rozciągnięć (lub ściskania) poszczególnych sprężyn.

Jeśli sprężyny ułożone równolegle zostaną poddane działaniu siły, jak rozłoży się ta siła?
- Odpowiedź: W przypadku sprężyn równoległych siła rozkłada się na sprężyny na podstawie ich stałej sprężystości. Sprężyny o wyższej stałej sprężystości przenoszą większą część siły niż te o niższej stałej sprężystości.
Dlaczego sprężyny w szeregu można uważać za pojedynczą sprężynę o większej długości?
- Odpowiedź: Sprężyny w układzie szeregowym mają łączny efekt równoważny rozciągnięciu pojedynczej, dłuższej sprężyny. Rozciągnięcia lub sprężenia poszczególnych sprężyn sumują się, tak jak w przypadku dłuższej, pojedynczej sprężyny.

Jaka jest energia potencjalna zmagazynowana w sprężynach połączonych szeregowo w porównaniu z energią potencjalną zmagazynowaną w sprężynach połączonych równolegle przy tej samej przyłożonej sile?
- Odpowiedź: Sprężyny w układzie szeregowym magazynują większą energię potencjalną niż sprężyny w układzie równoległym przy tej samej przyłożonej sile, ponieważ ulegają większemu łącznemu rozciągnięciu lub ściśnięciu.
Jeśli jedna ze sprężyn w konfiguracji równoległej pęknie lub przestanie działać, jak zmieni się ogólne zachowanie układu?
- Odpowiedź: Jeśli jedna sprężyna w konfiguracji równoległej pęknie, pozostałe sprężyny nadal będą działać. Jednakże, całkowita stała sprężystości układu zmniejszy się, a układ nie będzie w stanie wytworzyć tak dużej siły przywracającej jak wcześniej.

Dlaczego sprężyny w układzie szeregowym są bardziej podatne na większe odkształcenia niż sprężyny w układzie równoległym przy tej samej przyłożonej sile?
- Odpowiedź: W przypadku sprężyn połączonych szeregowo, na każdą sprężynę działa ta sama siła, powodując jej rozciąganie lub ściskanie. Całkowite odkształcenie jest sumą poszczególnych odkształceń. Równocześnie siła jest rozłożona na sprężyny, więc na każdą z nich działa mniejsza siła efektywna, co prowadzi do mniejszych odkształceń.
Dlaczego w zastosowaniach praktycznych inżynierowie decydują się na użycie sprężyn równolegle, a nie szeregowo?

Odpowiedź: Inżynierowie mogą wybrać sprężyny równoległe, aby uzyskać wyższą ogólną stałą sprężystości, co przekłada się na sztywniejsze działanie. Taka konfiguracja zapewnia również redundancję: jeśli jedna sprężyna ulegnie uszkodzeniu, system nadal będzie działał, aczkolwiek ze zmniejszoną ogólną stałą sprężystości.