Ruch obrotowy – problemy i rozwiązania

Ruch obrotowy – problemy i rozwiązania

Moment obrotowy

1. Belka o długości 140 cm. Na belkę działają trzy siły: F₁ = 20 N, F₂ = 10 N i F₃ = 40 N z kierunkiem i położeniem pokazanym na poniższym rysunku. Jaki jest moment obrotowy powoduje, że belka obraca się wokół środka masy belki?

Znany:

Środek masy znajduje się w środku belki.

Długość belki (l) = 140 cm = 1.4 metra

Siła 1 (F₁) = 20 N, ramię dźwigni 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 metra

Siła 2 (F₂) = 10 N, ramię dźwigni 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Siła 3 (F₃) = 40 N, ramię dźwigni 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 metra

Poszukiwany : Wielkość momentu obrotowego

rozwiązanie:

Moment obrotowy 1 obraca belkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, dlatego momentowi obrotowemu 1 przypisano znak ujemny.

τ₁ = F.₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N·m

Moment obrotowy 2 obraca belkę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, co powoduje przypisanie momentu obrotowego 2 znaku dodatniego.

τ₂ = F.₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N·m

Moment obrotowy 3 obraca belkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, dlatego momentowi obrotowemu 3 przypisano znak dodatni.

τ₃ = F.₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N·m

Moment obrotowy netto:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Wartość momentu obrotowego wynosi 39 N·m. Kierunek obrotu belki jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, więc przypisano mu znak ujemny.

2. Jaki jest wypadkowy moment obrotowy działający na belkę Oś obrotu w punkcie D. (sin 53^o = 0.8)

Znany:

Oś obrotu w punkcie D

F₁ = 10 N i l₁ = r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metra

F₂ = 10√2 N i l₂ = r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metrów

F₃ = 20 N i l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 metra

Poszukiwany : Moment obrotowy netto

rozwiązanie:

τ₁ = F.₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Moment obrotowy 1 obraca belkę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dlatego przypisujemy momentowi obrotowemu 1 znak dodatni)

τ₂ = F.₂ l₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Moment obrotowy 2 obraca belkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc przypisujemy momentowi obrotowemu 2 znak ujemny)

τ₃ = F.₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Moment obrotowy 3 obraca belkę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dlatego przypisujemy momentowi obrotowemu 3 znak dodatni)

Moment obrotowy netto:

Στ = τ₁ - T₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Jaki jest moment wypadkowy, jeżeli oś obrotu znajduje się w punkcie D. (sin 53^o = 0.8)

Znany:

Oś obrotu w punkcie D.

Dystans między F₁ i osi obrotu (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Odległość między F₂ i osi obrotu (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Odległość między F₃ i osi obrotu (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 niutonów

F₂ = 10√2 Newton

F₃ = 20 niutonów

Bez 53^o = 0.8

Poszukiwany : Moment obrotowy netto

rozwiązanie:

Moment siły 1

Św₁ = (F₁)(R_AD grzech 53^o) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Moment obrotowy 1 obraca belkę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dlatego przypisujemy momentowi obrotowemu 1 znak dodatni)

Moment siły 2

Św₂ = (F₂)(R_BD grzech 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Moment obrotowy 2 obraca belkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc przypisujemy momentowi obrotowemu 2 znak ujemny)

Moment siły 3

Św₃ = (F₃)(R_CD grzech 90^o) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Moment obrotowy 2 obraca belkę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dlatego przypisujemy momentowi obrotowemu 3 znak dodatni)

Moment obrotowy netto:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 niutonometrów

Moment bezwładności

4. Długość przewodu = 12 m, l₁ = 4 m. Pomiń masę drutu. Jaka jest moment bezwładności systemu.

Znany:

Masa z A (m_A) = 0.2 kg

Masa B (m_B) = 0.6 kg

Odległość między A a osią obrotu (r_A) = 4 metrów

Odległość między B a osią obrotu (r_B) = 12 – 4 = 8 metrów

Poszukiwany : Moment bezwładności układu

rozwiązanie:

Moment bezwładności A

I_A = (m_A)(R_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 kg·m²

Moment bezwładności B

I_B = (m_B)(R_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg·m²

Moment bezwładności układu:

Ja = ja_A + I_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg·m²

Dynamika rotacyjna

5. Do linki owiniętej wokół krążka o masie M = 5 kg i promieniu R = 20 cm przyłożono siłę 6 N. Jakie jest przyspieszenie kątowe krążka? Krążek jest jednorodnym, pełnym walcem.

Znany:

Siła (F) = 6 niutonów

Masa (M) = 5 kg

Promień (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Poszukiwany : Przyspieszenie kątowe (a)

rozwiązanie:

Moment siły:

τ = FR = (6 Newtonów) (0.2 metra) = 1.2 Nm

Moment bezwładności dla pełnego walca:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m²)

Ja = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg·m².

Przyspieszenie kątowe:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s^-2

6. Klocek o masie 4 kg zawieszony na sznurku owiniętym wokół krążka o masie 8 kg i promieniu R = 10 cm. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms.^-2 Jakie jest przyspieszenie liniowe klocka? Koło pasowe jest jednolitym, pełnym walcem.

Znany:

Masa koła pasowego (m) = 8 kg

Promień koła pasowego (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa bloku (m) = 4 kg

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/s²

Masa (w) = mg = (4 kg)(10 m/s²) = 40 kg·m/s² = 40 niutonów

Poszukiwany : Przyspieszenie swobodnego spadania bloku

rozwiązanie:

Moment bezwładności pełnego walca:

I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg)(0.1 m)² = (4 kg)(0.01 m²) = 0.04 kg·m²

Moment siły:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Przyspieszenie kątowe:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Przyspieszenie liniowe:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s²

7. Klocek o masie m zawieszony na sznurku owiniętym wokół krążka. Jeżeli swobodny spadek przyspieszenie bloku wynosi am/s², jaki jest moment bezwładności koła pasowego..

Znany:

waga = w = mg

Ramię dźwigni = R

Przyspieszenie kątowe = α

Przyspieszenie swobodnego spadania bloku = ms^-2

Chciał: Moment bezwładności koła pasowego (I)

rozwiązanie:

Związek między przyspieszeniem liniowym i przyspieszeniem kątowym:

a = R α

α = a / R

Moment bezwładności:

τ = I α

ja = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

Moment pędu

8. Cząstka o masie 0.2 grama porusza się po okręgu ze stałą prędkością 10 m/s. Promień okręgu wynosi 3 cm. Jaki jest moment pędu cząstki?

Znany:

Masa cząstek (m) = 0.2 grama = 2 x 10^-4 kg

Prędkość kątowa (ω) = 10 rad s^-1

Promień (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 metrów

Poszukiwany : Moment pędu cząstki

rozwiązanie:

Równanie momentu pędu:

L = I ω

I = moment pędu, I = moment bezwładności, ω = prędkość kątowa

Moment bezwładności (dla cząstek):

Ja = pan² = (2 x 10^-4 )(3 x 10^-2)² = (2 x 10^-4 )(9 x 10^-4) = 18 x 10^-8

Moment pędu:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 rad s^-1) = 18 x 10^-7 kgm² s^-1

1. Czym jest ruch obrotowy?
   • OdpowiedźRuch obrotowy odnosi się do ruchu obiektu wokół stałej osi. Jest to rodzaj ruchu, w którym każdy punkt obiektu porusza się po okręgu wokół osi.
2. Jaki jest związek między prędkością liniową a prędkością kątową w ruchu obrotowym?
   • Odpowiedź:Prędkość liniowa ($v$) punktu w obracającym się obiekcie jest wprost proporcjonalna do jego odległości ($r$) od osi obrotu i prędkości kątowej ($\omega$) obiektu. Relacja jest podana przez $v=r\cdot \omega$.
3. Co to jest moment bezwładności i jaki ma on związek z ruchem obrotowym?
   • OdpowiedźMoment bezwładności jest obrotowym odpowiednikiem masy w ruchu liniowym. Mierzy on opór obiektu na zmiany jego stanu obrotowego. Moment bezwładności zależy zarówno od masy obiektu, jak i jej rozkładu względem osi obrotu.
4. Jak pierwsza zasada dynamiki Newtona odnosi się do ruchu obrotowego?
   • Odpowiedź:Podobnie jak obiekt w ruchu liniowym pozostaje w ruchu, dopóki nie zadziała na niego siła zewnętrzna, obiekt w ruchu obrotowym pozostanie w tym stanie, dopóki nie zadziała na niego zewnętrzny moment obrotowy.
5. Jakie jest znaczenie promienia żyracji?
   • OdpowiedźPromień bezwładności stanowi miarę rozkładu masy obiektu poza osią obrotu. Zasadniczo opisuje on, jak daleko od osi obrotu cała masa obiektu musiałaby być skupiona, aby uzyskać taki sam moment bezwładności, jak w pierwotnym rozkładzie.
6. Co to jest moment pędu i jak jest on zachowany?
   • OdpowiedźMoment pędu jest obrotowym odpowiednikiem pędu liniowego. Jest iloczynem momentu bezwładności obiektu i jego prędkości kątowej. W układzie zamkniętym całkowity moment pędu pozostaje stały, chyba że działa na niego zewnętrzny moment obrotowy, co dowodzi zasady zachowania momentu pędu.
7. Jak moment obrotowy wpływa na ruch obrotowy?
   • Odpowiedź:Moment obrotowy jest obrotowym odpowiednikiem siły. Powoduje zmiany w ruchu obrotowym obiektu. Zależność tę opisuje drugie prawo Newtona dotyczące ruchu obrotowego: $\tau =I\cdot \alpha$, Gdzie $\tau$ jest momentem obrotowym, $I$ jest momentem bezwładności i $\alpha$ jest przyspieszeniem kątowym.
8. Czym środek masy różni się od środka obrotu?
   • Odpowiedź:Chociaż mogą się one pokrywać, środek masy to punkt, w którym można założyć, że jest skupiona cała masa obiektu na potrzeby obliczeń w ruchu liniowym, natomiast środek obrotu to punkt (lub oś), wokół którego obiekt się obraca.
9. Jaką rolę odgrywa siła dośrodkowa w ruchu obrotowym?
   • Odpowiedź:Siła dośrodkowa to siła wypadkowa działająca na obiekt poruszający się po torze kołowym, skierowana do środka obrotu. Odpowiada ona za utrzymanie obiektu na torze zakrzywionym i zapobiega jego ruchowi po linii prostej z powodu bezwładności.

10. Jaki jest związek między energią kinetyczną ruchu obrotowego a momentem bezwładności i prędkością kątową?

    • OdpowiedźEnergia kinetyczna ruchu obrotowego to energia powstająca w wyniku obrotu obiektu wokół osi. Jest ona dana wzorem: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Gdzie $I$ jest momentem bezwładności i $\omega$ jest prędkością kątową.