Artykuł o równaniu Poiseuille'a
Równanie Poiseuille'a zostało odkryte przez Jeana Louisa Marie Poiseuille'a (1799-1869). Jak wyjaśniono, każdy płyn można uznać za płyn idealny. Płyn idealny nie ma lepkości. Jeśli założymy, że płyn idealny płynie w rurze, każda jego część porusza się z tą samą prędkością (v). W przeciwieństwie do płynu idealnego, rzeczywisty płyn, z którym spotykamy się w życiu codziennym, ma lepkość. Ponieważ ma lepkość, to podczas przepływu w rurze, na przykład, prędkość każdej części płynu jest zmienna. Warstwa płynu, która znajduje się w środku, porusza się szybciej (głębokie v), natomiast warstwa płynu przyczepiona do rury nie porusza się (v = 0). Zatem od środka do krawędzi rury każda część płynu porusza się z inną prędkością. Aby ułatwić zrozumienie, spójrz na poniższy rysunek.
R = promień rury/rury
v 1 = natężenie przepływu płynu w środku/osi rury
v 2 = natężenie przepływu cieczy, które wynosi r 2 od krawędzi rury
v 3 = natężenie przepływu cieczy r 3 od krawędzi rury
v 4 = natężenie przepływu cieczy r 4 od krawędzi rury
r = odległość
Aby natężenie przepływu każdej części cieczy było takie samo, musi występować różnica ciśnień na obu końcach rury lub przewodu, przez który przepływa ciecz. Przez ciecz rozumie się tu ciecz rzeczywistą, na przykład wodę lub olej przepływający przez rurę, krew płynącą w naczyniu krwionośnym itp. Różnica ciśnień nie tylko wspomaga płynny przepływ cieczy, ale może również powodować jej przepływ w rurach o różnych wysokościach.
Jean Louis Marie Poiseuille, były francuski naukowiec, który interesował się fizycznymi aspektami krążenia krwi u człowieka, badał, jak czynniki takie jak różnice ciśnień, pole przekroju poprzecznego rurki i jej rozmiar wpływają na rzeczywistą szybkość przepływu płynu. Wyniki uzyskane przez Jeana Louisa Marie Poiseuille'a znane są jako równanie Poiseuille'a.
Równanie Poiseuille'a można wyprowadzić, korzystając z równania współczynnika lepkości, które zostało już wcześniej obliczone. Używamy równania lepkości, ponieważ przypadki są podobne, mimo że nie są identyczne. Wyprowadzając równanie współczynnika lepkości, analizujemy przepływ rzeczywistej warstwy cieczy między dwiema równoległymi płytkami, a ciecz może się poruszać z powodu przyciągania (F). Różnica polega na tym, że równanie Poiseuille'a, które wyprowadzimy, określa czynniki wpływające na przepływ rzeczywistej cieczy w rurze/przewodzie oraz cieczy płynącej z powodu różnicy ciśnień. W związku z tym równanie współczynnika lepkości wymaga ponownej korekty.
Płyn może płynąć ze względu na różnicę ciśnień (płyn przepływa z miejsca o wyższym ciśnieniu do miejsca, w którym ciśnienie jest niższe), wtedy zastępujemy F przez p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Wyprowadzając równanie współczynnika lepkości, analizujemy przepływ rzeczywistej warstwy płynu między 2 równoległymi płytkami. Każda część płynu zmienia swoją regularną prędkość do l. W tym przypadku natężenie przepływu płynu zmienia się regularnie od osi rury do jej krawędzi. Płyn w osi rury płynie z większą prędkością (v). Im większa krawędź, tym mniejsza prędkość płynu. Promień rury = odległość między osią rury a jej krawędzią = R. Odległość między każdą częścią płynu a krawędzią rury = r. Ponieważ ilość każdej części płynu jest ogromna, a odległość od krawędzi rury jest również różna, zapisujemy to tak:
v 1 = prędkość płynu znajdującego się w odległości r 1 od krawędzi rury (r 1 = R)
v 2 = prędkość cieczy znajdującej się w odległości r 2 od krawędzi rury (r 2 < r 1 )
v 3 = prędkość cieczy w odległości r 3 od krawędzi rury (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = prędkość cieczy znajdującej się w odległości r 4 od krawędzi rury (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
............................................. ..
v n = szybkość przepływu cieczy w odległości rn od krawędzi rury (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Ilość każdej części cieczy jest ogromna i nie wiemy dokładnie, jaka to jest ilość, więc wystarczy zapisać ją symbolem n. Każda część cieczy zmienia prędkość (v) regularnie, od osi rury (r 1 = R) do krawędzi rury (rn). Od osi rury (r 1 = R) do krawędzi rury (rn) prędkość każdej części cieczy jest mniejsza (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
Z powyższego wyjaśnienia możemy wywnioskować, że od R do rn natężenie przepływu cieczy maleje. Długość rury = L. Uzyskane równanie:
Ponieważ analizujemy prędkość przepływu płynu , równanie 2 przyjmuje postać:
Oto równanie prędkości przepływu cieczy w odległości r od rury o promieniu R. Jeśli po obejrzeniu powyższego rysunku coś Cię pomyliło… Pamiętaj, że ciecz płynie w rurze, więc musimy przypomnieć sobie natężenie przepływu objętości cieczy.
Wewnątrz rurki znajduje się płyn. Na przykład dzielimy płyn na drobne części, z których każda ma jednostkę powierzchni dA, oddaloną od osi rurki i charakteryzuje się prędkością przepływu v. Można to zapisać matematycznie w następujący sposób:
dA 1 = część płynu 1, która jest odległością dr 1 od osi rury
dA 2 = część płynu 2, która jest odległością dr 2 od osi rury
dA 3 = część płynu 3, która jest odległością dr 3 od osi rury
..................................
dAn = część płynu n, która jest odległością dn od osi rury
Części płynu są bardzo liczne, więc zapisujemy je symbolem n, co jest bardziej praktyczne. Objętościowe natężenie przepływu każdej części płynu można zapisać matematycznie w następujący sposób:
Każda część cieczy znajduje się w odległości od r = 0 do r = R (R = promień rury). Innymi słowy, odległość każdej części cieczy zmienia się mierząc od osi rury. Otrzymamy równanie objętościowego natężenia przepływu cieczy w rurze:
Q = Wypływ, R = promień rury lub przewodu, η = współczynnik lepkości, P 1 – p 2 = różnica ciśnień między dwoma końcami rury, L = długość rury, p 1 -p 2 / L = gradient ciśnienia (przepływ cieczy zawsze odbywa się w kierunku spadku ciśnienia)
Na podstawie powyższego równania Poiseuille'a wydaje się, że natężenie przepływu objętości cieczy (Q) jest proporcjonalne do promienia rury (R4 ) , gradientu ciśnienia (p2 – p1 / L) i odwrotnie proporcjonalne do lepkości. Po dodaniu promienia rury (współczynnika lepkości i stałego gradientu ciśnienia) prędkość przepływu cieczy wzrasta szesnastokrotnie.
W podstawowej koncepcji projektowania rur należy zastosować to równanie. Wydatek cieczy jest proporcjonalny do R ⁻ (R = promień rury). Należy dokładnie obliczyć promień igły strzykawki lub palców rurki. Na przykład, jeśli podwoimy promień igły (r × 2), rozpylona ciecz zwiększy siłę nacisku kciuka 16-krotnie.
Równanie Poiseuille'a pokazuje również, że promień (r 4 ) jest odwrotnie proporcjonalny do różnicy ciśnień między dwoma końcami rury. Na przykład, krew najpierw przepływa przez naczynie krwionośne o promieniu wewnętrznym r. Jeśli nastąpi zwężenie tętnic (np. r/2 = promień naczyń krwionośnych zmniejszy się dwukrotnie),
wówczas potrzebna jest różnica ciśnień wynosząca 16 razy, aby krew płynęła tak jak poprzednio (tak, aby prędkość przepływu była stała).
