Dynamika ruchu obrotowego – zadania i rozwiązania

Dynamika ruchów obrotowych – problemy i rozwiązania

1. Koło pasowe z moment bezwładności I = 2/5 MR² ma masę 2 kg. Jeżeli moment siły Jeśli na kole pasowym wynosi 4 Nm, to jakie jest przyspieszenie liniowe koła pasowego? Przyspieszenie grawitacyjne wynosi g = 10 ms.^-2.

Znany : Dynamika ruchu obrotowego – zadania i rozwiązania 1

Moment bezwładności koła pasowego (I) = 2/5 MR²

Masa koła pasowego (M) = 2 kg

Moment siły (τ) = 4 Nm

Przyspieszenie ziemskie (g) = 10 ms^-2

Promień koła pasowego (R) = 20 cm = 0.2 m

Poszukiwany : Przyspieszenie liniowe (a)

rozwiązanie:

Moment bezwładności koła pasowego (I):

I = 2/5 MR²= 2/5 (2)(0.2)² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg·m²

przyspieszenie kątowe (α) :

τ = I α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s^-2

Przyspieszenie liniowe (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms^-2

Przyspieszenie liniowe krawędzi koła pasowego wynosi 25 ms^-2.

2. Przyspieszenie koła pasowego wynosi 2 ms^-2Przyspieszenie grawitacyjne wynosi g = 10 ms^-2Jaki jest moment bezwładności koła pasowego.

Znany:

Przyspieszenie liniowe krawędzi koła pasowego (a) = 2 ms^-2

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms^-2

Promień koła pasowego (R) = 10 cm = 0.1 m

Ciężar obiektu (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Poszukiwany : Moment bezwładności koła pasowego

Zobacz też Ruch pocisku – problemy i rozwiązania

rozwiązanie:

Moment siły (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

Przyspieszenie kątowe koła pasowego (α):

a = R α

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s^-2

Moment bezwładności koła pasowego (I):

τ = I α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg·m²

3. Koło pasowe przyspieszało z prędkością 1 ms^-2. Jeżeli promień koła pasowego wynosi 10 cm, jaki jest moment bezwładności koła pasowego?

Znany:

Przyspieszenie liniowe krawędzi koła pasowego (a) = 1 ms^-2

Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms^-2

Promień koła pasowego (R) = 10 cm = 0.1 m

Siła (F) = 4 N

Poszukiwany : Moment bezwładności koła pasowego

rozwiązanie:

Moment siły (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Przyspieszenie kątowe koła pasowego (α):

a = R α

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s^-2

Moment bezwładności koła pasowego (I):

τ = I α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m²

Jaki jest obrotowy odpowiednik masy w ruchu liniowym?
- Odpowiedź: Odpowiednikiem obrotowym masy w ruchu liniowym jest moment bezwładności, często oznaczany jako $I$ .
Jaki jest związek momentu obrotowego z ruchem obrotowym i jak można go porównać z siłą w ruchu liniowym?
- Odpowiedź: Moment obrotowy jest obrotowym odpowiednikiem siły. Podczas gdy siła powoduje przyspieszenie liniowe obiektów, moment obrotowy powoduje przyspieszenie kątowe w ciałach obrotowych. Moment obrotowy oblicza się jako iloczyn przyłożonej siły i prostopadłej odległości od osi obrotu do punktu przyłożenia siły.
Jaki jest związek pomiędzy przyspieszeniem kątowym, momentem obrotowym i momentem bezwładności?
- Odpowiedź: Zależność tę podaje drugie prawo Newtona dotyczące obrotów: $τ = I α$ , Gdzie $τ$ jest momentem obrotowym, $I$ jest momentem bezwładności i $α$ jest przyspieszeniem kątowym.
Co dzieje się z przyspieszeniem kątowym, jeżeli moment bezwładności obracającego się obiektu wzrasta, a zewnętrzny moment obrotowy pozostaje stały?
- Odpowiedź: Jeżeli moment bezwładności wzrasta, a moment zewnętrzny pozostaje stały, przyspieszenie kątowe zmniejszy się.
W jaki sposób koncepcje pędu liniowego i momentu pędu są analogiczne w ruchu liniowym i obrotowym?
- Odpowiedź: Pęd liniowy (dany przez $p = m v$ , Gdzie $m$ jest masa i $v$ prędkość) jest iloczynem masy i prędkości liniowej, natomiast moment pędu (dany przez $L = I ω$ , Gdzie $I$ jest momentem bezwładności i $ω$ (prędkość kątowa) jest iloczynem momentu bezwładności i prędkości kątowej.

Co oznacza zasada zachowania momentu pędu?
- Odpowiedź: Zasada zachowania momentu pędu głosi, że w przypadku braku zewnętrznych momentów obrotowych całkowity moment pędu układu zamkniętego pozostaje stały.
Dlaczego łyżwiarze figurowi kręcą się szybciej, gdy podczas obrotu podkurczają ramiona?
- Odpowiedź: Kiedy łyżwiarze figurowi zginają ramiona, zmniejszają swój moment bezwładności. Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, gdy moment bezwładności maleje, prędkość kątowa (lub prędkość obrotu) musi wzrosnąć, aby utrzymać stały moment pędu.
Jak energia kinetyczna ruchu obrotowego obiektu ma się do jego liniowej energii kinetycznej?
- Odpowiedź: Energia kinetyczna ruchu obrotowego (wyrażona wzorem 1/2) $I ω^{2}$ ) jest analogiczna do liniowej energii kinetycznej (danej przez 1/2 $m v^{2}$ ). Pierwszy z nich jest związany z obrotem obiektu, a drugi z jego ruchem liniowym.
Czy obiekt może mieć jednocześnie energię kinetyczną obrotową i liniową?
- Odpowiedź: Tak, obiekt może mieć zarówno energię kinetyczną obrotową, jak i liniową. Na przykład, toczące się koło ma energię kinetyczną obrotową wynikającą z obrotu i energię kinetyczną liniową wynikającą z ruchu do przodu.
Jak zmieni się moment bezwładności koła, jeśli promień obracającego się koła podwoi się, a jego prędkość kątowa pozostanie stała?

Odpowiedź: Moment bezwładności dysku pełnego jest podany przez 1/2 $m r^{2}$ , Gdzie $m$ jest masa i $r$ jest promieniem. Jeśli promień się podwoi, a masa pozostanie stała, moment bezwładności wzrośnie czterokrotnie.