Dodawanie wektorów za pomocą składowych – problemy i rozwiązania

Dodawanie wektorów za pomocą składowych – problemy i rozwiązania

1. Trzy wektory pokazane na poniższym rysunku.

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Jakie są wektory wypadkowe?

Znany:

V ₁ = 30, kąt między V ₁ a osią x = 30 ^o

V ₂ = 30, kąt między V ₂ a osią x = 30 ^o

V ₃ = 40, kąt między V ₃ a osią x = 0 ^o

Poszukiwane: wektory wynikowe

rozwiązanie:

Składniki wektorów :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż dodatniej osi x (w prawo).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi y (w górę).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Jest ujemne, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż ujemnej osi x (w lewo).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi y (w górę).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż dodatniej osi x (w prawo).

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

Składniki wektorów wynikowych:

Vx ₌ V1x _– V2x + _{V3x = 15√3} – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

Wektor wynikowy :

2. Dwie siły prostopadłe do siebie, F ₁ = 12 N i F ₂ = 5 N. Jaka jest wypadkowa obu sił?

Znany:

Siła 1 (F ₁ ) = 12 niutonów

Siła 2 (F ₂ ) = 5 niutonów

Poszukiwane: wektory wynikowe ( ΣF)

rozwiązanie:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 niutonów

3. Trzy wektory,

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Określ wektory wypadkowe.

Znany:

v ₁ = 30, co daje 30 ^o wokół ujemnej osi x

v ₂ = 30, co daje 30 ^o wokół dodatniej osi x

v ₃ = 40, co daje 0 ^o wokół dodatniej osi x

Poszukiwane: wektory wynikowe

rozwiązanie:

Składniki wektorów:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ujemne, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż ujemnej osi x (w lewo) )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi y (w górę) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi x (w prawo ) )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi y (w górę). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Dodatnia, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi x (w prawo). )

v _3y = v ₃ grzech 0 ^o = (40)(0) = 0

Składniki wektorów wynikowych:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

Wektor wynikowy:

4. Jaka jest wypadkowa trzech wektorów pokazanych na poniższym rysunku :

Znany:

F₁ = 3 niutonów, sprawia, że 60^o wokół dodatniej osi x

F ₂ = 3 niutony, co daje 0 ^o wokół ujemnej osi x

F3 = 6 niutonów , co daje _kąt 60 ^° wokół ujemnej osi y

Poszukiwany: wektor wypadkowy

rozwiązanie:

Składniki wektorów:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi x (w prawo ) )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi y (w górę) )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( ujemny, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż ujemnej osi x (w lewo) )

F _2y = F ₂ grzech 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( Dodatni, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż dodatniej osi x (w prawo ) )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( ujemne, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż ujemnej osi y ( w dół) )

Składniki wektorów wynikowych:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

Wektor wynikowy:

5. Dwie siły, F ₁ = 15 N i F 2 ₌ 9 N. Kąt między wektorami wynosi 60°. Jaka jest wypadkowa wektorów?

Poszukiwany :

Siła 1 (F ₁ ) = 15 niutonów

Siła 2 (F ₂ ) = 9 niutonów

Kąt ( θ) = ^60o

Poszukiwany: wektor wypadkowy

rozwiązanie:

6. Jaka jest wypadkowa trzech wektorów pokazanych na poniższym rysunku?

Znany:

F₁ = 20 Newtonów, kąt między F₁ i oś x = 0

F ₂ = 20 niutony, kąt między F ₂ a osią x = 60

F ₃ = 24 niutony, kąt między F ₃ a osią x = 60

Poszukiwany: wektor wypadkowy

rozwiązanie:

Składniki wektorów:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż dodatniej osi x (w prawo ).

fa _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Wartość ujemna, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż ujemnej osi x (w lewo).

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Dodatni, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż dodatniej osi y (w górę).

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Wartość ujemna, ponieważ ta składowa wektora wskazuje wzdłuż ujemnej osi x (w lewo).

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N jest ujemne, ponieważ ta składowa wektora jest skierowana wzdłuż ujemnej osi y ( w dół).

Składniki wektorów wynikowych:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

fa _y = fa _1y + fa _2y – fa _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

Wektor wynikowy: