Przykładowe pytania omawiające równanie stycznej do okręgu
Pendahuluan
Równanie stycznej do okręgu jest ważnym zagadnieniem w geometrii analitycznej. Zrozumienie sposobu wyznaczania równania stycznej do okręgu może pomóc w rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych na poziomie średnio zaawansowanym i zaawansowanym. W tym artykule omówiono różne przykładowe problemy i metody wyznaczania równania stycznej do okręgu.
Definicja i podstawowa teoria
Okrąg w układzie współrzędnych można zazwyczaj przedstawić za pomocą równania kwadratowego:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
gdzie \((a, b)\) jest punktem środkowym okręgu, a \(r\) jest promieniem okręgu.
Styczna do okręgu z punktu zewnętrznego to prosta, która styka się z okręgiem dokładnie w jednym punkcie. Zakładając, że prosta ma równanie:
\[ y = mx + c \]
wówczas warunek, że prosta \(y = mx + c\) będzie styczna do okręgu, można zapisać w następującej postaci:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Gdzie \(m\) jest nachyleniem linii stycznej, a \(c\) jest stałą.
Wzór na równanie stycznej
Dla stycznej do okręgu o środku \((0,0)\) i promieniu \(r\), jej równanie w punkcie \((x_1, y_1)\) na okręgu jest następujące:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Ale jeśli środek okręgu znajduje się w punkcie \((a, b)\), to równanie wygląda następująco:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Przykładowe pytania i dyskusje
Pytanie 1
Okrąg o środku w punkcie \((3, 4)\) i promieniu 5 jednostek. Wyznacz równanie stycznej do niego z punktu \((6, 8)\).
Dyskusja:
W tym zadaniu mamy dany okrąg o środku w punkcie \((3, 4)\), promieniu 5 i musimy znaleźć równanie stycznej do niego z punktu \((6, 8)\). Oto kroki rozwiązania:
1. Sprawdź, czy punkt \((6, 8)\) nie znajduje się wewnątrz okręgu: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Zatem punkt ten znajduje się na okręgu, więc można go wykorzystać do znalezienia linii stycznej.
2. Korzystając ze wzoru:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Uprość równanie:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Rozwijaj:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4 lata – 25 = 50
\]
Otrzymane równanie stycznej jest następujące:
\[
3x + 4 lat = 50
\]
Pytanie 2
Okrąg o równaniu \[x^2 + y^2 = 16\]. Wyznacz równanie stycznej z punktu \((4, 0)\).
Dyskusja:
Okrąg o środku w punkcie \((0, 0)\) i promieniu 4 jednostek. Podany punkt zewnętrzny to \((4, 0)\).
1. Używając wzoru na okrąg o środku \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Substytucja wartości:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Uprość:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Oznacza to, że równanie styczne, które mamy, wygląda następująco:
\[
x = 4
\]
Pytanie 3
Narysuj linię styczną do okręgu \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) w punkcie \((-1, 5)\).
Dyskusja:
Okrąg o środku w punkcie \((-2, 3)\) i promieniu 3 jednostek. Punkt styczności to \((-1, 5)\).
1. Sprawdź, czy punkt leży na okręgu:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{nie na okręgu}
\]
Zatem może wystąpić błąd w zadaniu pytania lub punkcie. Jeśli jako punkt styczności podano \((-2, 6)\):
2. Uprość:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Podstawienie:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Wynik:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Okazuje się, że punkt i pers.:
y = 6 jest na pewno poprawne.
Wniosek: kombinacja do sprawdzenia, zapamiętanie, 2 sposoby liczenia.
ważny/fałsz..To Plus podsumowanie gar. td 2; kształt zweryfikuj z (siatką). plis obwód wszystkie przyciski pokrycia.
To wszystko, dziękuję i mam nadzieję, że przyda się to moim znajomym.
Dodatkowo poznaj koncepcję wzmacniania zrozumienia.
Ci, którzy wcześniej nie rozumieli, jeśli Bóg pozwoli, otrzymają bardziej szczegółowe, krytyczne instrukcje chirurgiczne.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{zapobiega}-fu.
"
