Przykładowe pytania omawiające nazywanie boków trójkąta prostokątnego
Pendahuluan
Trójkąt prostokątny to trójkąt o kącie prostym. Ten trójkąt jest kluczowy w matematyce i jej różnorodnych zastosowaniach, w tym w fizyce, inżynierii lądowej i wielu innych dziedzinach nauki. Jedną z podstaw nauki trójkątów prostokątnych jest zrozumienie nazw boków i ich identyfikacji. W tym artykule omówimy przykładowe zadania i szczegółowo omówimy nazewnictwo boków trójkąta prostokątnego.
Nazywanie boków trójkąta prostokątnego
W trójkącie prostokątnym są trzy boki, które mają specjalne nazwy:
1. Przeciwprostokątna: Jest to najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym i zawsze leży naprzeciw kąta prostego.
2. Podstawa: Jedna z dwóch ścian tworzących kąt prosty.
3. Bok prostopadły (wysokość/prostopadły): Jeden z dwóch boków tworzących kąt prosty, zwykle uważany za prostopadły do podstawy.
Przykładowe pytanie 1: Identyfikowanie boków trójkąta prostokątnego
Pytanie :
Dany jest trójkąt ABC z kątem prostym w punkcie B. Długość odcinka AB wynosi 3 cm, długość odcinka BC wynosi 4 cm, a długość odcinka AC wynosi 5 cm. Podaj nazwy boków tego trójkąta.
Dyskusja:
1. Określanie przeciwprostokątnej:
Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego (∠B). Długość AC = 5 cm to najdłuższy bok, więc AC jest przeciwprostokątną.
2. Określ bok podstawy i bok pionowy:
Dwa boki tworzące kąt prosty to AB i BC. Porównując ich długości, BC (4 cm) i AB (3 cm), możemy stwierdzić, że AB, krótszy, jest bokiem prostopadłym, a BC jest podstawą.
Tak więc rezultatem nazwania stron jest:
– Przeciwprostokątna: AC
– Bok podstawy: BC
– Pionowy bok: AB
Przykładowe pytanie 2: Obliczanie długości boku trójkąta prostokątnego za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Pytanie :
Dany jest trójkąt DEF z kątem prostym przy E. Długość DE wynosi 6 cm, a długość EF 8 cm. Oblicz długość boku DF (przeciwprostokątnej).
Dyskusja:
Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej (DF), możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że w trójkącie prostokątnym:
\[ \text{Przeciwprostokątna}^2 = \text{Bok podstawy}^2 + \text{Bok prostopadły}^2 \]
W tym pytaniu:
– DE i EF to boki tworzące kąt prosty, zatem DE i EF to podstawa i boczne boki.
– DE = 6 cm i EF = 8 cm.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\[ DF^2 = DE^2 + EF^2 \]
\[DF^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[DF^2 = 36 + 64 \]
\[DF^2 = 100 \]
Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron:
\[ DF = \sqrt{100} \]
\[ DF = 10 \tekst{ cm} \]
Długość przeciwprostokątnej DF wynosi zatem 10 cm.
Przykład 3: Wyznaczanie długości boku prostopadłego za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Pytanie :
Trójkąt MNO jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy N. Długość MN wynosi 9 cm, a długość przeciwprostokątnej MO wynosi 15 cm. Oblicz długość boku NO.
Dyskusja:
Z pytania wiemy, że:
– MN jest jednym z boków tworzących kąt prosty (bok pionowy).
– MO jest przeciwprostokątną.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość NO:
\[ \text{Przeciwprostokątna}^2 = \text{Bok podstawy}^2 + \text{Bok prostopadły}^2 \]
\[ 15^2 = 9^2 + NIE^2 \]
\[ 225 = 81 + NO^2 \]
Izolowanie NO^2:
\[ NO^2 = 225 – 81 \]
\[ NO^2 = 144 \]
Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby uzyskać NIE:
\[ NIE = \sqrt{144} \]
\[ NIE = 12 \tekst{ cm} \]
Tak więc długość boku NO wynosi 12 cm.
Przykładowe pytanie 4: Wyznaczanie boku podstawy za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Pytanie :
Trójkąt PQR, w którym P jest kątem prostym, ma długość PR (przeciwprostokątnej) równą 13 cm i długość PQ (boku prostopadłego) równą 5 cm. Oblicz długość boku QR (boku podstawy).
Dyskusja:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\[ \text{Przeciwprostokątna}^2 = \text{Bok podstawy}^2 + \text{Bok prostopadły}^2 \]
\[ 13^2 = QR^2 + 5^2 \]
\[ 169 = QR^2 + 25 \]
Izolowanie QR^2:
\[QR^2 = 169 – 25 \]
\[QR^2 = 144 \]
Aby znaleźć QR, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron:
\[QR = \sqrt{144} \]
\[ QR = 12 \tekst{ cm} \]
Długość boku QR wynosi zatem 12 cm.
Wniosek
Analizując powyższe przykłady, możemy zidentyfikować i zrozumieć nazewnictwo boków trójkąta prostokątnego, a także wykorzystać twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości nieznanego boku. Ta wiedza jest kluczowa dla rozwiązywania bardziej złożonych problemów matematycznych i ich zastosowań w różnych dziedzinach. Zrozumienie tych podstawowych pojęć pozwoli uczniom skuteczniej radzić sobie z wyzwaniami związanymi z geometrią trójkątów.
