Disebut persamaan Poiseuille, karena persamaan ini ditemukan oleh almahrum Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Seperti yang telah dijelaskan, setiap fluida bisa dianggap sebagai fluida ideal. Fluida ideal tidak mempunyai viskositas atau kekentalan. Jika kita mengandaikan suatu fluida ideal mengalir dalam sebuah pipa, setiap bagian fluida tersebut bergerak dengan laju (v) yang sama. Berbeda dengan fluida ideal, fluida riil alias fluida yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari mempunyai viskositas. Karena mempunyai viskositas, maka ketika mengalir dalam sebuah pipa, misalnya, laju setiap bagian fluida berbeda-beda. Lapisan fluida yang berada tengah-tengah bergerak lebih cepat (v besar), sebaliknya lapisan fluida yang nempel dengan pipa tidak bergerak alias diam (v = 0). Jadi dari tengah ke pinggir pipa, setiap bagian fluida tersebut bergerak dengan laju yang berbeda-beda. Untuk memudahkan pemahamanmu, amati gambar di bawah….
Keterangan :
R = jari-jari pipa/tabung
v1 = laju aliran fluida yang berada di tengah/sumbu tabung
v2 = laju aliran fluida yang berjarak r2 dari pinggir tabung
v3 = laju aliran fluida yang berjarak r3 dari pinggir tabung
v4 = laju aliran fluida yang berjarak r4 dari pinggir tabung
r = jarak
Agar laju aliran setiap bagian fluida sama, maka perlu ada perbedaan tekanan pada kedua ujung pipa atau tabung apapun yang dilalui fluida. Yang dimaksudkan dengan fluida di sini adalah fluida riil/nyata, contohnya air atau minyak yang mengalir melalui pipa, darah yang mengalir dalam pembuluh darah dll. Selain membantu suatu fluida riil mengalir dengan lancar, perbedaan tekanan juga bisa membuat sluida bisa mengalir pada pipa yang ketinggiannya berbeda.
Jean Louis Marie Poiseuille, mantan ilmuwan perancis yang tertarik pada aspek-aspek fisika dari peredaran darah manusia, melakukan penelitian untuk menyelidiki bagaimana faktor-faktor, seperti perbedaan tekanan, luas penampang tabung dan ukuran tabung mempengaruhi laju fluida riil. Hasil yang diperoleh Jean Louis Marie Poiseuille, dikenal dengan julukan persamaan Poiseuille.
Persamaan Poiseuille bisa diturunkan menggunakan bantuan persamaan koofisien viskositas yang telah diturunkan sebelumnya. Kita gunakan persamaan viskositas karena kasusnya mirip walau tak sama. Ketika menurunkan persamaan koofisien viskositas, kita meninjau aliran lapisan fluida riil antara 2 pelat sejajar dan fluida tersebut bisa bergerak karena adanya gaya tarik (F). Bedanya, persamaan Poiseuille yang akan kita turunkan sebenarnya menyatakan faktor-faktor yang mempengaruhi aliran fluida riil dalam pipa/tabung dan fluida mengalir akibat adanya perbedaan tekanan. Karenanya, persamaan koofisien viskositas perlu disesuaikan lagi.
Fluida bisa mengalir akibat adanya perbedaan tekanan (fluida mengalir dari tempat yang tekanannya tinggi ke tempat yang tekanannya rendah), maka F kita ganti dengan p1 – p2 (p1 > p2).
Ketika menurunkan persamaan koofisien viskositas, kita meninjau aliran lapisan fluida riil antara 2 pelat sejajar. Setiap bagian fluida tersebut mengalami perubahan kecepatan teratur sejauh l. Untuk kasus ini, laju aliran fluida mengalami perubahan secara teratur dari sumbu tabung sampai ke tepi tabung. Fluida yang berada di sumbu tabung mengalir dengan laju (v) yang lebih besar. Semakin ke pinggir, laju fluida semakin kecil. Jari-jari tabung = jarak antara sumbu tabung dengan tepi tabung = R. Jarak antara setiap bagian fluida dengan tepi tabung = r. Karena jumlah setiap bagian fluida itu sangat banyak dan jaraknya dari tepi tabung juga berbeda-beda, maka kita cukup menulis seperti ini :
v1 = laju fluida yang berada pada jarak r1 dari tepi tabung (r1 = R)
v2 = laju fluida yang berada pada jarak r2 dari tepi tabung (r2 < r1)
v3 = laju fluida yang berada pada jarak r3 dari tepi tabung (r3 < r2 < r1)
v4 = laju fluida yang berada pada jarak r4 dari tepi tabung (r4 < r3 < r2 < r1)
………………………………………..
vn = laju fluida yang berada pada jarak r n dari tepi tabung (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Jumlah setiap bagian fluida sangat banyak dan kita juga tidak tahu secara pasti berapa jumlahnya yang sebenarnya, maka cukup ditulis dengan simbol n. Setiap bagian fluida mengalami perubahan laju (v) secara teratur, dari sumbu tabung (r1 = R) sampai tepi tabung (rn ). Dari sumbu tabung (r1 = R) ke tepi tabung (rn), laju setiap bagian fluida makin kecil (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn ).
Dari penjelasan di atas, kita bisa punya gambaran bahwa dari R ke rn , laju fluida semakin kecil. Panjang pipa = L. Diperoleh persamaan :
Karena yang kita tinjau adalah laju (v) aliran fluida, maka persamaan 2 menjadi :
Ini adalah persamaan laju aliran fluida pada jarak r dari pipa yang berjari-jari R. Kalau bingung sambil lihat gambar di atas…. Perlu diketahui bahwa fluida mengalir dalam pipa alias tabung, sehingga kita perlu meninjau laju aliran volume fluida tersebut.
Di dalam tabung ada fluida. Misalnya kita membagi fluida menjadi potongan-potongan yang sangat kecil, di mana setiap potongan tersebut mempunyai satuan luas dA, berjarak dr dari sumbu tabung dan mempunyai laju aliran v. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
dA1 = potongan fluida 1, yang berjarak dr 1 dari sumbu tabung
dA2 = potongan fluida 2, yang berjarak dr 2 dari sumbu tabung
dA3 = potongan fluida 3, yang berjarak dr 3 dari sumbu tabung
…………………………….
dA n = potongan fluida n, yang berjarak dr n dari sumbu tabung
Potongan-potongan fluida sangat banyak, sehingga cukup ditulis dengan simbol n saja, biar lebih praktis. Laju aliran volume setiap potongan fluida tersebut, secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Setiap potongan fluida tersebut berada pada jarak r = 0 sampai r = R (R = jari-jari tabung). Dengan kata lain, jarak setiap potongan fluida tersebut berbeda-beda jika diukur dari sumbu tabung. Jika kita oprek dengan kalkulus (diintegralkan), maka akan diperoleh persamaan laju aliran volume fluida dalam tabung :
Keterangan :
Q = Debit
R = Jari-jari dalam pipa atau tabung
η = Koofisien viskositas
P1 – p2 = Perbedaan tekanan antara kedua ujung pipa
L = Panjang pipa
p1-p2/L = Gradien tekanan (aliran fluida selalu menuju arah penurunan tekanan)
Berdasarkan persamaan Poiseuille di atas, tampak bahwa laju aliran volume fluida alias debit (Q) sebanding dengan pangkat empat jari-jari tabung (R4), gradien tekanan (p2 – p1 /L) dan berbanding terbalik dengan viskositas. Jika jari-jari tabung ditambahkan (koofisien viskositas dan gradien tekanan tetap), maka laju aliran fluida meningkat sebesar faktor 16.
Konsep dasar perancangan pipa, jarum suntik dkk menggunakan persamaan ini. Debit fluida sebanding dengan R4 (R = jari-jari tabung). Jari-jari jarum suntik atau jari-jari pipa perlu diperhitungkan secara saksama. Misalnya, jika kita menggandakan jari-jari dalam jarum (r x 2), maka debit cairan yang nyemprot = menaikan gaya tekan ibu jari sebesar 16 kali.
Persamaan Poiseuille juga menunjukkan bahwa pangkat empat jari-jari (r4), berbanding terbalik dengan perbedaan tekanan antara kedua ujung pipa. Misalnya mula-mula darah mengalir dalam pembuluh darah yang mempunyai jari-jari dalam sebesar r. Kalau terdapat penyempitan pembuluh darah (misalnya r/2 = jari-jari dalam pembuluh darah berkurang 2 kali), maka diperlukan perbedaan tekanan sebesar 16 kali untuk membuat darah mengalir seperti semula (biar debit alias laju aliran volume darah tetap).
