ਜੜ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਲ

1. ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ

ਇੱਕ ਘੁੰਮਦੇ ਕਣ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ। ਪੁੰਜ m ਵਾਲੇ ਕਣ ਨੂੰ ਬਲ F ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਕਣ ਧੁਰੇ O ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮੇ। ਕਣ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ r ਦੂਰ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਕਣ ਆਰਾਮ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (v = 0)। F ਦੇ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਹਿੱਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕਣ ਇੱਕ ਖਾਸ ਗਤੀ ਨਾਲ ਚਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਕਣਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੋਵੇ। ਬਲ (F), ਪੁੰਜ (m), ਅਤੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਪ੍ਰਵੇਗ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਮੀਕਰਨ 3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:

F = ਮਾ _ਤਨ (ਸਮੀਕਰਨ 3)

ਕਣ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੋਣੀ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੋਵੇ। ਸਪਰਸ਼ ਪ੍ਰਵੇਗ ਅਤੇ ਕੋਣੀ ਪ੍ਰਵੇਗ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਮੀਕਰਨ 4 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:

a _ਟੈਨ = r α (ਸਮੀਕਰਨ 4)

ਸਮੀਕਰਨ 3 ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4 ਵਿੱਚ a ਨਾਲ ਬਦਲੋ:

ਐਫ = ਮਿਸਟਰ α

r F = ਮਿਸਟਰ ² α

τ = (mr ² ) α (ਸਮੀਕਰਨ 5)

r F ਬਲ ਦਾ ਪਲ ਹੈ ਅਤੇ mr ² ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 5 ਬਲ ਦੇ ਪਲ, ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਅਤੇ ਘੁੰਮਦੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਕੋਣੀ ਪ੍ਰਵੇਗ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 5 ਘੁੰਮਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਕਣ ਦੇ ਪੁੰਜ (m) ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ (r ² ) ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

I = ਮਿਸਟਰ ² (ਸਮੀਕਰਨ 6)

I = ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ, m = ਕਣ ਦਾ ਪੁੰਜ, r = ਕਣ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ। ਸਮੀਕਰਨ 6 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

3.2 ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦੀਆਂ ਨਮੂਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ

ਨਮੂਨਾ ਸਮੱਸਿਆ 1।

2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਭਾਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ 0.5 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਬੰਨ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘੁੰਮਾਇਆ ਗਿਆ। ਘੁੰਮਦੇ ਸਮੇਂ ਕਣਾਂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?

ਦਾ ਹੱਲ:

ਮੈਂ = ਸ਼੍ਰੀ ²

ਮੈਂ = (2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ) (0.5 ਮੀਟਰ) ²

ਮੈਂ = 0.5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ²

ਨਮੂਨਾ ਸਮੱਸਿਆ 2।

ਦੋ ਕਣ, ਹਰੇਕ ਦਾ ਭਾਰ 2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਅਤੇ 4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ, ਇੱਕ ਹਲਕੇ ਤਾਰ ਦੁਆਰਾ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਤਾਰਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਅਣਡਿੱਠ ਕਰੋ। ਦੋ ਕਣਾਂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ, ਜੇਕਰ:

a) ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਦੋ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ

ਦਾ ਹੱਲ:

ਮੈਂ = ਮੀਟਰ ₁ ਰ ₁ ² + ਮੀਟਰ ₂ ਰ ₂ ²

ਮੈਂ = (2)(12) + (4)(12)

ਮੈਂ = 2 + 4

ਮੈਂ = 6 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ²

b) ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ 2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ ਤੋਂ 0.5 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।

ਮੈਂ = ਮੀਟਰ ₁ ਰ ₁ ² + ਮੀਟਰ ₂ ਰ ₂ ²

ਮੈਂ = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

ਮੈਂ = (2)(0.25) + (4)(2.25)

ਮੈਂ = 0.5 + 9

ਮੈਂ = 9.5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ²

c) ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ 4 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਕਣ ਤੋਂ 0.5 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।

ਮੈਂ = ਮੀਟਰ ₁ ਰ ₁ ² + ਮੀਟਰ ₂ ਰ ₂ ²

ਮੈਂ = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

ਮੈਂ = (2)(2.25) + (4)(0.25)

ਮੈਂ = 4.5 + 1

ਮੈਂ = 5.5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ²

ਉਪਰੋਕਤ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁਤ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦਾ ਸਥਾਨ ਵੱਖਰਾ ਹੈ, ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਵੀ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।

ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਵਿੱਚ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਦੋਵੇਂ ਕਣ ਸਖ਼ਤ ਵਸਤੂਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਕਣ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਨਾਲੋਂ ਇਸਦਾ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

3.3 ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਸਖ਼ਤ ਸਰੀਰ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ

ਸਖ਼ਤ ਵਸਤੂਆਂ ਕਈ ਕਣਾਂ ਤੋਂ ਬਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਖ਼ਤ ਸਰੀਰ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਹਰੇਕ ਕਣ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਮੈਂ = Σ ਮਿਸਟਰ ²

ਮੈਂ = ਮੀ₁ r₁² + ਐਮ₂ r₂² + ਐਮ₃ r₃² + ….. + ਮੀ_n r_n²

ਕਿਸੇ ਸਖ਼ਤ ਵਸਤੂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਵੇਲੇ ਉਸਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕਣ ਦਾ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ (I) ਕਣ ਦੇ ਪੁੰਜ (m) ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਕਣ ਦੀ ਦੂਰੀ (r ² ) ਦੇ ਵਰਗ 'ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਮੱਸਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹਰੇਕ ਕਣ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਂਗਲਾਂ R ਅਤੇ ਪੁੰਜ M ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਕਮੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।

ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਰਿੰਗ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕਣ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਇੱਕ ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

ਮੈਂ = Σ ਸ਼੍ਰੀਮਾਨ²

ਮੈਂ = ਮੀ₁ r₁² + ਐਮ₂ r₂² + ਐਮ₃ r₃² + ….. + ਮੀ_n r_n²

ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ = ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਪੁੰਜ (M)

ਮੈਂ = ਐਮ (ਰ ₁ ² + ਰ ₂ ² + ਰ ₃ ² + ..... + ਰ _ਨ ² )

ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕਣ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ r ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ:

ਮੈਂ = ਐਮਆਰ ²

I = ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ, M = ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਪੁੰਜ, R = ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦਾ ਘੇਰਾ।

ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਰਿੰਗ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਰਿੰਗ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਤਲੇ ਰਿੰਗ ਦੇ ਜੜਤਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਪਲ ਉਪਰੋਕਤ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ,

ਕਿਉਂਕਿ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹਰੇਕ ਕਣ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੱਢਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਕੁਝ ਸਖ਼ਤ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ

3.4 ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਸਖ਼ਤ ਸਰੀਰ ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦੀ ਨਮੂਨਾ ਸਮੱਸਿਆ

ਨਮੂਨਾ ਸਮੱਸਿਆ 1:

ਰਾਡ ਸਿਲੰਡਰ AB ਦਾ ਭਾਰ 3 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ B ਵਿੱਚੋਂ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,

ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ 27 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ² ਹੈ । ਜੜਤਾ ਦਾ ਪਲ ਕੀ ਹੈ ਜੇਕਰ

C ਰਾਹੀਂ ਘੁੰਮਾਇਆ?

ਦਾ ਹੱਲ:

ਦਾ ਹੱਲ:

ਸਮਰੂਪ ਠੋਸ ਡੰਡੇ ਲਈ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ (ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਡੰਡੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ):

ਮੈਂ = 1/12 ਐਮਐਲ ²

27 = (1/12) ਐਮਐਲ ²

(27)(12) = ਐਮਐਲ ²

324 = ਐਮਐਲ ²

ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਠੋਸ ਡੰਡੇ (ਡੰਡੇ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਧੁਰੀ) ਦੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ:

ਮੈਂ = 1/3 ਐਮਐਲ ²

ਮੈਂ = 1/3 (324)

ਮੈਂ = 108 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਮੀਟਰ ²