ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਸੰਚਵ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ "ਭਾਸ਼ਾ" ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਸੰਚਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਕੁੱਲ "ਨਿਰੰਤਰ ਜੋੜ"। ਕੈਲਕੂਲਸ (FTC) ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਪੁਲ ਹੈ: ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਅਤੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਵਿਸ਼ੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਗੋਂ ਦੋ ਪਰਸਪਰ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਸਿਧਾਂਤ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਅਰਥਸ਼ਾਸਤਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਇੰਨਾ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਸੰਖੇਪ ਜਾਣਕਾਰੀ: ਬਦਲਾਅ ਅਤੇ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣਾ

ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕਾਰ ਸੜਕ 'ਤੇ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਕਾਰ ਦਾ ਵੇਗ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ "ਵੇਗ" ਦਾ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ \(v(t)\) ਵੇਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ \(a\) ਤੋਂ \(b\) ਤੱਕ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
\[
\int_a^bv(t)\, ਮਿਤੀ।
\]
ਇਸ ਦੌਰਾਨ, ਜੇਕਰ \(s(t)\) ਸਥਿਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੇਗ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ:
\[
v(t) = s'(t).
\]
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਿਧਾਂਤ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨੇੜਿਓਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ: ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਇੰਟੈਗਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਖੇਤਰਫਲ, ਦੂਰੀ, ਪੁੰਜ, ਊਰਜਾ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਤੁਰੰਤ ਪੂਰਵ-ਲੋੜ: ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਅਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕੀ ਹਨ?

ਪ੍ਰਮੇਏ ਦੇ ਬਿਆਨ ਵਿੱਚ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੰਕਲਪ ਹਨ:

1. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ \(f'(x)\): ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਢਲਾਣ ਜਾਂ \(f(x)\) ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ \(x\) ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਸਹਿਜ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ \(f(x)\) ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ \(f'(x)\) ਵੇਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

2. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ \(\int_a^bf(x)\,dx\): ਅੰਤਰਾਲ \([a,b]\) 'ਤੇ \(f\) ਦੇ ਸੰਚਵ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਅਕਸਰ \(x=a\) ਤੋਂ \(x=b\) ਤੱਕ ਵਕਰ \(y=f(x)\) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਸਤਖਤ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ (\(x\)-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਖੇਤਰ, \(x\)-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਖੇਤਰ) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਛੋਟੇ ਆਇਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ, ਫਿਰ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਜਾਣ 'ਤੇ ਲੈਣਾ।

ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦਾ ਬਿਆਨ (ਭਾਗ 1)

TFK ਭਾਗ 1 ਦੱਸਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ \(f\) \([a,b]\) ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
\[
F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,
\]
ਫਿਰ \(F\) ਨੂੰ \((a,b)\) ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
\[
F'(x)=f(x).
\]

ਅਰਥ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ: \(f\) ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਇੰਟੈਗਰਲ "ਨਿਰਮਾਣ" \(f\) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ \(x\) ਤੱਕ ਸੰਚਵ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸੰਚਵ ਦਰ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵੇਗੀ।

ਅੰਤਰ-ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਭਾਗ 1
ਜਦੋਂ \(x\) ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹੀ ਜਿਹੀ ਮਾਤਰਾ \(\Delta x\ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ \(F(x)\) ਵਿੱਚ ਛੋਟੀ ਤਬਦੀਲੀ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ:
\[
F(x+\ਡੈਲਟਾ x)-F(x)=\int_a^{x+\ਡੈਲਟਾ x} f(t)\,dt – \int_a^xf(t)\,dt = \int_x^{x+\ਡੈਲਟਾ x} f(t)\,dt.
\]
ਜੇਕਰ \(\Delta x\) ਛੋਟਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਲਗਭਗ \(f(x)\Delta x\ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
\[
\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\approx f(x).
\]
ਜਦੋਂ \(\Delta x\to 0\), ਤਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਸਟੀਕ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ \(F'(x)=f(x)\)।

ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਣ
ਮੰਨ ਲਓ \(f(t)=2t\)। ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ
\[
F(x)=\int_0^x 2t\,dt.
\]
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ \(\int 2t\,dt = t^2\), ਇਸ ਲਈ \(F(x)=x^2\)। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ \(F'(x)=2x\) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ \(f(x)\) ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਹੈ। ਇਹ ਭਾਗ 1 ਨੂੰ ਠੋਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦਾ ਬਿਆਨ (ਭਾਗ 2)

TFK ਭਾਗ 2 ਦੱਸਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ \(f\) \([a,b]\) ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ \(F\) \(f\) (ਭਾਵ \(F'(x)=f(x)\)) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ
\[
\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a)।
\]

ਇਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਰੂਪ ਹੈ। ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਬਸ \(F\) ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਇਸਦਾ ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ 'ਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।

ਗਣਨਾ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ
ਗਿਣਤੀ:
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx.
\]
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ
\[
F(x)=\frac{x^3}{3}+x।
\]
ਇਸ ਲਈ:
\[
\int_1^3 (x^2+1)\,dx = \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{1^3}{3}+1\right)
= \left(9+3\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)
=12-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.
\]
TFK ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਆਇਤਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ - ਬਹੁਤ ਲੰਬੀ।

ਇਸਨੂੰ "ਬੁਨਿਆਦੀ" ਕਿਉਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?

ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ:

1. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ: ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਅਤੇ ਇੰਟੈਗਰਲ (ਸੰਚਤ)।
2. ਇੱਕ ਵਿਹਾਰਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
3. ਕਈ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਹਨ: ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ (ਕੰਮ ਅਤੇ ਊਰਜਾ), ਅੰਕੜੇ (ਵੰਡ ਅਤੇ ਮੌਕਾ), ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ (ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਬਨਾਮ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ), ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ (ਜਨਸੰਖਿਆ ਵਾਧਾ), ਆਦਿ।

ਸੰਕਲਪਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਇੱਕ ਸੁਮੇਲ ਔਜ਼ਾਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ "ਦਰ" ਅਤੇ "ਕੁੱਲ" ਮਾਡਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਅਕਸਰ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ

1. ਗਤੀ ਤੋਂ ਦੂਰੀ
ਜੇਕਰ \(v(t)\) ਵੇਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਇਹ ਹੈ:
\[
s(b)-s(a)=\int_a^bv(t)\,dt.
\]
ਇਹ ਸਿੱਧਾ TFK ਭਾਗ 2 ਤੋਂ ਹੈ ਜੇਕਰ \(v(t)=s'(t)\)। ਜੇਕਰ \(v(t)\) ਕਈ ਵਾਰ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟੈਗਰਲ ਸ਼ੁੱਧ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ; ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ \(\int_a^b |v(t)|\,dt\) ਵਜੋਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

2. ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣਾ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਟੈਂਕ \(r(t)\) ਲੀਟਰ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਰਾਲ \([a,b]\) ਦੌਰਾਨ ਦਾਖਲ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਆਇਤਨ \(\int_a^br(t)\, dt\) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਇਨਫਲੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਊਟਫਲੋ ਦਰ ਦੋਵੇਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਤਬਦੀਲੀ (ਇਨਫਲੋ − ਆਊਟਫਲੋ) ਦਾ ਅਨਿੱਖੜਵਾਂ ਅੰਗ ਹੈ।

3. ਇੰਟੈਗਰਲ ਲਈ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ
TFK ਤੋਂ, ਕਈ ਨਤੀਜੇ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ:
\[
f_{\text{avg}}=\frac{1}{ba}\int_a^bf(x)\,dx.
\]
ਇਹ ਡੇਟਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਅਤੇ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।

ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨੋਟ: ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਸ਼ਰਤਾਂ

TFK ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਵਾਲ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ \(f\) ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸੁਚਾਰੂ ਹੋਵੇ। ਹੋਰ ਅਧਿਐਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਏ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਰੀਮੈਨੀਅਨ ਜਾਂ ਲੇਬੇਸਗ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹਨ), ਪਰ ਮੁੱਢਲੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਧਾਰਨਾ ਮਿਆਰੀ ਹੈ।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਸਾਈਨ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਹਮੇਸ਼ਾ "ਸ਼ੁੱਧ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰ" ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ, ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿਭਾਜਨ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ

ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਸਿਧਾਂਤ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਕੋਰ ਹੈ। ਭਾਗ 1 ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਕੱਠਾ ਹੋਣਾ, ਜਦੋਂ ਵੱਖਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭਾਗ 2 ਨੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਤਰੀਕਾ ਦਿਖਾਇਆ: ਬਸ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ 'ਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਨਾਲ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਸਿਰਫ਼ ਗਣਿਤਿਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨਹੀਂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ, ਸਗੋਂ ਦੁਨੀਆ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਢਾਂਚਾ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ ਬਦਲਾਅ ਕੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਇਕੱਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕਰਨ ਵਿਧੀਆਂ, ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਾਂ ਭੌਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ TFK ਨੂੰ ਪਰਦੇ ਪਿੱਛੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖਦੇ ਰਹੋਗੇ - ਇੱਕ "ਪੁਲ" ਵਜੋਂ ਜੋ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਔਜ਼ਾਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।