ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਪ੍ਰਸ਼ਨ
ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ਾ ਹਨ ਜੋ ਕਿ ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਰਗੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ:
\[
\begin{ਕੇਸ}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{ਕੇਸ}
\]
ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਟੀਚਾ \(x\) ਅਤੇ \(y\) ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ
ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
1. ਬਦਲ ਵਿਧੀ
2. ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਤਰੀਕਾ
3. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿਧੀ (ਉਲਟਾ ਜਾਂ ਗੌਸ-ਜਾਰਡਨ)
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 1: ਬਦਲ ਵਿਧੀ
ਆਓ ਅਸੀਂ ਬਦਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੀਏ:
\[
\begin{ਕੇਸ}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{ਕੇਸ}
\]
ਲੰਕਾਹ-ਲੰਗਕਾਹ:
1. ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਅਲੱਗ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ \(x\) ਨੂੰ ਅਲੱਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. ਮਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ \(x = 10 – 2y\) ਨੂੰ ਬਦਲੋ:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
\(y\) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. ਹੋਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮਿਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
\(x\) ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ \(y = \frac{25}{7}\) ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
ਇਸ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਹੱਲ \( x = \frac{20}{7} \) ਅਤੇ \( y = \frac{25}{7} \) ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 2: ਖਾਤਮੇ ਦਾ ਤਰੀਕਾ
ਅੱਗੇ, ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ:
\[
\begin{ਕੇਸ}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{ਕੇਸ}
\]
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
1. ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. ਗੁਣਾ ਕੀਤੇ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਘਟਾਓ:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
ਇਹ \(0 = 0\) ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਕੋਲ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਭਰ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ 3: ਰੇਖਿਕ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ
ਰੇਖਿਕ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ \(<, \leq, >, \geq\)। ਆਓ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਣ ਵੇਖੀਏ:
\[
\begin{ਕੇਸ}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] ਕਦਮ: 1. ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਹੱਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। 2. ਸੀਮਾ ਰੇਖਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: \(3x - y < 7\) ਲਈ, ਸੀਮਾ ਰੇਖਾ \(3x - y = 7\) ਹੈ।
