ਦੋਪੰਥੀ ਵੰਡ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਸਵਾਲ ਅਤੇ ਚਰਚਾ
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਵੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ ਕਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ, ਸੁਤੰਤਰ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਾਡਲਿੰਗ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਜਾਂ ਅਸਫਲਤਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਅਤੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਚਰਚਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਕੇ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਜਾਣਾਂਗੇ।
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਦੋਪਦੀ ਵੰਡ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ:
1. n: ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਓ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
2. p: ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
3. q = 1-p: ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਪੁੰਜ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ:
\[ P(X = k) = {n \ਚੁਣੋ k} p^k (1-p)^{nk} \]
ਮਨ ਵਿੱਚ:
– \( {n \ਚੁਣੋ k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ।
– \( k \): ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ।
ਨਮੂਨਾ ਸਵਾਲ ਅਤੇ ਚਰਚਾ
ਆਓ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 1: ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਚੋਣ ਕਰਨਾ
ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 10 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ ਹਿੱਸਾ ਲੈਣ ਲਈ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0,3 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿਲਕੁਲ 4 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਚੁਣੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਦਮ 1: ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
– \( n = 10 \)
– \( ਪੀ = 0.3 \)
ਕਦਮ 2: \( X = 4 \) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
\[ P(X = 4) = {10 \ਚੁਣੋ 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ \( {10 \ਚੁਣੋ 4} \):
\[ {10 \ਚੁਣੋ 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ਹੁਣ \( (0.3)^4 \) ਅਤੇ \( (0.7)^6 \) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
ਜਾਦੀ,
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 4) = 210 \ਸੀਡੌਟ 0.0081 \ਸੀਡੌਟ 0.117649 \ਲਗਭਗ 0.20012 \]
ਇਸ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਬਿਲਕੁਲ 4 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਚੁਣੇ ਗਏ ਹਨ, ਲਗਭਗ 0.20012 ਜਾਂ 20.012% ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2: ਸੰਭਾਵਨਾ 2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ
ਹੁਣ, ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਚੁਣੇ ਜਾਣਗੇ।
ਕਦਮ 1: ਸਾਨੂੰ \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ਅਤੇ \( P(X = 2) \) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
– ਲਈ \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \ਚੁਣੋ 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \ਚੁਣੋ 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– ਲਈ \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \ਚੁਣੋ 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \ਚੁਣੋ 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– ਲਈ \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \ਚੁਣੋ 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \ਚੁਣੋ 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
ਕਦਮ 2: ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
\[ ਪੀ(ਐਕਸ \ਲੇਕ 2) = ਪੀ(ਐਕਸ = 0) + ਪੀ(ਐਕਸ = 1) + ਪੀ(ਐਕਸ = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
ਇਸ ਲਈ, 2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 0.7740671 ਜਾਂ 77.41% ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3: ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 8 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ 12 ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.5 ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 8 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਕਦਮ 1: ਦੋਪਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ: \( n = 12, p = 0.5 \)।
ਕਦਮ 2: \( X \geq 8 \) ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ।
ਇਸ ਲਈ ਕਈ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਗਿਣੋ:
– ਲਈ \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \ਚੁਣੋ 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \ਚੁਣੋ 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– ਲਈ \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \ਚੁਣੋ 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \ਚੁਣੋ 9} = 220 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– ਲਈ \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \ਚੁਣੋ 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \ਚੁਣੋ 10} = 66 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– ਲਈ \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \ਚੁਣੋ 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \ਚੁਣੋ 11} = 12 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– ਲਈ \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \ਚੁਣੋ 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \ਚੁਣੋ 12} = 1 \]
\[ ਪੀ(ਐਕਸ = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
ਕਦਮ 3: ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਜੋੜੋ।
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ਲਗਭਗ 0.1938477 \]
ਇਸ ਲਈ, 12 ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 8 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 0.1938477 ਜਾਂ 19.38% ਹੈ।
ਸਿੱਟਾ
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਹਾਰਕ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਮਲਿਆਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਹ ਸਮਝ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਭਿਆਸ ਸਾਡੀ ਸਮਝ ਨੂੰ ਵੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਣਤਰ ਇੱਕ ਸਪਸ਼ਟ ਅਤੇ ਸੰਗਠਿਤ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ।
