Mann-Whitney-testen i statistikk
Statistikk er en gren av matematikken som omhandler innsamling, analyse, tolkning og presentasjon av data. Statistikk brukes innen ulike felt for å ta datadrevne beslutninger. En ofte brukt teknikk i statistikk er Mann-Whitney-testen (også kjent som Mann-Whitney U-testen eller Wilcoxon rangsumtest). Dette er en ikke-parametrisk metode som brukes til å avgjøre om det er en signifikant forskjell mellom to uparede grupper.
Introduksjon til Mann-Whitney-testen
Mann-Whitney-testen ble introdusert av Henry Mann og Donald Whitney i 1947 som et ikke-parametrisk alternativ til t-testen. Denne metoden krever ikke antagelsen om normalitet. Derfor er den spesielt nyttig når dataene ikke følger en normalfordeling, eller når utvalgsstørrelsen er for liten til å validere normalitetsantagelsen.
Grunnleggende prinsipper for Mann-Whitney-testen
Mann-Whitney-testen brukes til å sammenligne medianene til to grupper. Grunnprinsippet er:
1. Rangering av observasjon: Alle data fra begge gruppene kombineres og rangeres fra minste til største. Hvis det er identiske verdier, rangeres hver observasjon etter gjennomsnittet av den riktige rangeringen.
2. Beregning av statistisk test: Den statistiske testverdien (U) beregnes basert på summen av rangeringene for hver gruppe. Det finnes to måter å beregne på: én som starter med den første gruppen og den andre med den andre gruppen.
– Den generelle formelen for U er:
\[
U₂ = n₁ × n₂ + ∫(n₂ + 1)/1 – R₂
\]
atau
\[
U₂ = n₁ × n₂ + ∫(n₂ + 1)/2 – R₂
\]
Hvor:
– \(n_1\) og \(n_2\) er antall observasjoner i hver gruppe,
– \(R_1\) og \(R_2\) er antall ranger i hver gruppe.
3. Signifikanstest: Signifikanstesten utføres for å bestemme p-verdien. Under forhold med stor utvalgsstørrelse kan U-fordelingen tilnærmes med en normalfordeling.
Antagelser i Mann-Whitney-testen
Selv om Mann-Whitney-testen er en ikke-parametrisk test og ikke krever antagelsen om normalfordeling, er det flere relaterte forutsetninger som må oppfylles for at resultatene skal være gyldige:
1. Uavhengighet: Hver observasjon i begge gruppene må være uavhengig av hverandre.
2. Ordinal- eller intervallskala: Dataene må være på en ordinal- eller intervallskala. Dette betyr at dataene kan sorteres og inneholder rangeringsinformasjon.
3. Fordelingsområde: Fordelingen av begge gruppene må ha samme form (selv om medianen kan være forskjellig).
Fremgangsmåte for å utføre Mann-Whitney-testen
Følgende er trinnene som vanligvis følges for å utføre Mann-Whitney-testen:
1. Kombiner og sorter data: Kombiner dataene fra begge gruppene og sorter dem samlet. Rangeringer tildeles i henhold til rekkefølgen med justeringer for rangering knyttet til gjennomsnittsverdien.
2. Beregn antall rangeringer: Beregn antall rangeringer for hver gruppe.
3. Bestemmelse av U-verdien i statistikk: Bruk formelen som er forklart tidligere for å beregne U-verdien for begge gruppene.
4. Bestemmelse av kritisk verdi eller p-verdi: Sammenlign den oppnådde U-verdien med den kritiske verdien fra U-fordelingstabellen (eller beregn p-verdien) for å avgjøre om forskjellen mellom gruppene er statistisk signifikant.
La oss for eksempel si at vi har to datasett, A og B. Disse dataene kan representere to forskjellige behandlinger for en bestemt sykdom, og vi ønsker å vite om den ene behandlingen er mer effektiv enn den andre.
Eksempel på praksis
La oss si at vi har to terapigrupper:
– Terapi A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Terapi B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Sammenslåing og sortering av data:
– Sammensatt: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Rekkefølge og rangering: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Beregning av antall rangeringer:
– Antall vurderinger av terapi A: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Antall vurderinger av terapi B: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Beregning av U-verdi:
\[
U_A = n_1 × n_2 + \frac{n_1 × (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 × n_2 + \frac{n_2 × (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Velg en mindre U-verdi, nemlig U = 11.
4. Bestemmelse av betydning:
Sammenlign den oppnådde U-verdien med den kritiske U-verdien fra Mann-Whitney-fordelingstabellen eller beregn p-verdien. Hvis U er mindre enn den kritiske verdien, eller p-verdien er lavere enn alfa (f.eks. 0,05), forkaster vi nullhypotesen og konkluderer med at det er en signifikant forskjell mellom de to gruppene.
Fordeler og begrensninger med Mann-Whitney-testen
Fordeler:
1. Ikke-parametrisk: Krever ikke antagelsen om normalfordeling.
2. Fleksibilitet: Kan brukes når dataene er på en ordinal skala eller har avvikere.
3. Enkel og effektiv: Lett å beregne og tolke.
Begrensninger:
1. Effektivitetstap: I en normalfordeling er t-testen mer effektiv.
2. Antagelse om samme fordelingsform: Denne testen antar samme fordelingsform mellom de to gruppene.
3. Bundet på små utvalgsstørrelser: Den asymptotiske fordelingen kan være mindre nøyaktig på svært små utvalg.
Konklusjon
Mann-Whitney-testen er et kraftig og fleksibelt ikke-parametrisk verktøy for å identifisere forskjeller mellom to uparede grupper. Ved å forstå de grunnleggende prinsippene og implementeringstrinnene kan vi bruke denne testen i en rekke anvendelser på tvers av ulike forskningsfelt. Selv om den har noen begrensninger, gjør fordelene under visse omstendigheter den til en svært verdifull metode innen statistikk.
