Kruskal Wallis-testen i statistikk
Kruskal Wallis-testen er en ikke-parametrisk statistisk metode som brukes til å sammenligne forskjeller mellom tre eller flere grupper. I mange studier ønsker forskere ofte å avgjøre om flere grupper har signifikant forskjellige verdier for en bestemt variabel. Hvis dataene oppfyller forutsetningene om normalitet og homogenitet i variansen, er enveis ANOVA-testen vanligvis førstevalget. Men når disse forutsetningene ikke er oppfylt – for eksempel hvis dataene ikke er normalfordelt, det er ekstreme uteliggere, eller måleskalaen er ordinal – er Kruskal Wallis-testen et kraftig og mye brukt alternativ.
Definisjon og grunnleggende konsepter
Kruskal–Wallis-testen (ofte skrevet som Kruskal–Wallis H-testen) er en utvidelse av Mann–Whitney U-testen, og utvider den til mer enn to grupper. Dens grunnleggende prinsipp er å sammenligne dataenes "rangeringer", ikke de faktiske verdiene. Fordi den er rangbasert, krever ikke denne testen en normalfordeling og er relativt motstandsdyktig mot påvirkning fra uteliggere.
Intuitivt sett, hvis flere grupper har samme fordeling, vil datarangeringene på tvers av gruppene bli tilfeldig blandet. Omvendt, hvis noen grupper har en tendens til å ha høyere eller lavere verdier, vil rangeringene klynge seg sammen og produsere en større teststatistikk.
Når brukes Kruskal Wallis-testen?
Kruskal Wallis-testen brukes når:
1. Antall grupper er ≥ 3, og forskeren ønsker å sammenligne forskjellene i sentral plassering (vanligvis medianen) mellom gruppene.
2. Dataene oppfyller ikke ANOVA-forutsetningene, spesielt ikke normaliteten til residualene.
3. Ordinære dataskalaer (f.eks. tilfredshetspoeng: svært misfornøyd til svært fornøyd) eller ikke-normale intervall-/forholdsdata.
4. Uavhengige utvalg, som betyr at medlemmer av én gruppe ikke er paret med eller relatert til andre grupper.
Et godt eksempel: en forsker ønsker å sammenligne pasienttilfredshetsnivåer med tjenester ved tre forskjellige sykehus ved hjelp av en Likert-skala fra 1–5. Fordi dataene er ordinale, er Kruskal Wallis et passende valg.
Kruskal Wallis-testforutsetninger
Selv om den er ikke-parametrisk, har Kruskal Wallis fortsatt flere viktige antagelser:
1. Uavhengighet av observasjon: data i hver gruppe må komme fra forskjellige individer.
2. Responsvariabelen må være minst ordinal: dataene må være sorterbare.
3. Fordelingsformene mellom gruppene bør være like: hvis fordelingsformene er svært forskjellige, kan det være mer komplekst å tolke forskjellene. Denne testen tolkes ofte som en forskjell i medianer, men mediantolkningen er mest passende hvis fordelingsformene er like.
Hypotese i Kruskal Wallis-testen
I Kruskal Wallis-testen er hypotesen som testes:
– H0 (nullhypotesen): fordelingen (eller medianen) for alle gruppene er den samme.
– H1 (alternativ hypotese): det finnes minst én gruppe med en forskjellig fordeling (eller median).
Det bør bemerkes at når H0 forkastes, sier Kruskal-Wallis-testen ganske enkelt «det er en forskjell», men spesifiserer ikke hvilke grupper som er forskjellige. Dette krever ytterligere testing (post-hoc).
Beregningstrinn
Oppsummert er trinnene i Kruskal Wallis-testen:
1. Kombiner alle data fra alle gruppene.
2. Ranger fra minste til største verdi. Hvis det er likheter, bruk gjennomsnittlig rangering.
3. Legg sammen rangeringene i hver gruppe.
4. Beregn teststatistikken H.
Den generelle statistiske formelen for H er:
\[
H = ∫12/N(N+1) ∫sum_{i=1}^{k} ∫R_i^2/n_i – 3(N+1)
\]
Informasjon:
– \(N\) = summen av alle observasjoner
– \(k\) = antall grupper
– \(n_i\) = antall observasjoner i den i-te gruppen
– \(R_i\) = antall ranger i den i-te gruppen
H-verdien sammenlignes deretter med kji-kvadratfordelingen (\(\chi^2\)) med \(k-1\) frihetsgrader. Hvis p-verdien er mindre enn signifikansnivået (f.eks. 0,05), forkastes H0.
Illustrativt eksempel
Anta at en foreleser vil vite om det er forskjell i statistiske testresultater på tvers av tre læringsmetoder: A, B og C. Etter å ha samlet inn dataene viser det seg at resultatene ikke er normalfordelt fordi det finnes flere ekstremverdier. Foreleseren bruker deretter Kruskal Wallis-testen.
Hvis testresultatene viser en p-verdi på 0,01 (mindre enn 0,05), konkluderes det med at det er en signifikant forskjell mellom minst to læringsmetoder. Foreleseren vet imidlertid ennå ikke om metode A er bedre enn B eller C. Det er her post-hoc-analyse er nødvendig.
Post-hoc-test etter Kruskal Wallis
Hvis Kruskal Wallis-testen er signifikant, er neste trinn å utføre parvise sammenligninger. Noen vanlige metoder er:
1. Dunns test: brukes oftest for post-hoc Kruskal Wallis.
2. Parvis Mann–Whitney med korreksjon (Bonferroni, Holm eller Benjamini-Hochberg) for å kontrollere for feil på grunn av gjentatt testing.
Formålet med denne korreksjonen er å forhindre en økning i sjansen for type I-feil (oppgi en forskjell når det ikke er noen forskjell) på grunn av at man foretar mange sammenligninger.
Effektstørrelse
I tillegg til betydning vektlegger mange moderne studier effektstørrelser for å hjelpe leserne å forstå størrelsen på forskjellen. Noen effektstørrelser som ofte assosieres med Kruskal-Wallis-modellen inkluderer:
– H-basert Eta-kvadrat (η²):
\[
\eta^2 = \frac{H – k + 1}{N – k}
\]
– Epsilon-kvadrat (ε²) som et mer konservativt alternativ.
Effektstørrelser hjelper med å tolke om forskjellen er liten, middels eller stor, ikke bare «signifikant eller ikke».
Fordeler og begrensninger
Overskudd
1. Krever ikke antagelsen om normalitet.
2. Egnet for ordinære data.
3. Mer robust mot avvikere enn parametriske metoder.
Begrensninger
1. Viser ikke hvilke grupper som er forskjellige uten post-hoc.
2. Tolkning som forskjellen i medianer er mest gyldig hvis fordelingsformen til gruppene er lik.
3. Hvis de faktiske dataene er normale og homogene, kan ANOVA være kraftigere (høyere potens).
Lukking
Kruskal-Wallis-testen er et viktig verktøy i inferensiell statistikk, spesielt når forskere har å gjøre med data som ikke oppfyller forutsetningene i parametriske metoder. Med sin rangbaserte tilnærming tillater denne testen mer fleksible sammenligninger av tre eller flere grupper, spesielt for ordinære eller ikke-normale data. Bruken krever imidlertid fortsatt forståelse av forutsetningene, tolkning av resultatene og behovet for post-hoc-analyse for å identifisere virkelig forskjellige par av grupper. Ved å kombinere p-verdier, effektstørrelser og passende videre analyse, kan Kruskal-Wallis-testen gi robuste og relevante konklusjoner innen en rekke forskningsfelt, fra helse og utdanning til næringsliv og samfunnsvitenskap.
