Fjærer i serie og parallell – problemer og løsninger

1. En gjenstand på 160 gram festes i den ene enden av en fjær, og lengdeendringen på fjæren er 4 cm. Hva er lengdeendringen på tre fjærer koblet i serie og parallelt, som vist på figuren nedenfor?

Kjent:

Lengdeendringen på en fjær (Δx) = 4 cm = 0.04 m Fjærer i serie og parallell – problemer og løsninger 1

Mass (m) = 160 gram = 0.16 kg

Akselerasjon på grunn av tyngdekraften (g) = 10 m/s²

Vekt (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Newton

Ønskes: Lengdeendringen på tre fjærer (Δx)

løsning:

Ligningen til Hookes lov :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

De tre fjærene har samme konstant, k = 40 N/m.

Bestem den ekvivalente konstanten:

Vår 2 (k₂) og fjær 3 (k₃) tara koblet parallelt. Den ekvivalente konstanten:

k₂₃ = k₂ +k₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Vår 1 (k₁) og fjær 23 (k₂₃) er seriekoblet. Den ekvivalente konstanten:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Bestem lengdeendringen på tre fjærer:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Tre fjærer med samme konstant koblet i serie og parallelt, og en 2 kg tung gjenstand festet i den ene enden av en fjær, som vist i figuren nedenfor. Fjærkonstanten er k₁= k₂ = k₃= 300 N/m. Hva er lengdeendringen på de tre fjærene? Tyngdeakselerasjonen er g = 10 ms^-2.

Kjent:

Fjærkonstant k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 ms^-2

Objektets masse (m) = 2 kg

Objektets vekt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Se også Kirchhoff-loven – problemer og løsninger

Ønskes: Lengdeendringen på de tre fjærene (Δx)

løsning:

Bestem den ekvivalente konstanten:

Vår 1 (k₁) og fjær 2 (k₂) er koblet parallelt. Den ekvivalente konstanten:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Vår 3 (k₃) og fjær 12 (k₁₂) er seriekoblet. Den ekvivalente konstanten:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Bestem lengdeendringen på de tre fjærene:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Tre fjærer er koblet i serie og parallelt, som vist i figuren nedenfor. Hvis fjærkonstanten k = 50 Nm^-1 og en masse på 400 gram festet i den ene enden av en fjær. Hva er lengdeendringen på de tre fjærene?

Kjent:

Fjærkonstant 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Fjærkonstant 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Fjærkonstant 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Objektets masse (m) = 400 gram = 0.4 kg

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Objektets vekt (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newton

Ønskes: Lengdeendringen (Δx)

løsning:

Bestem den ekvivalente konstanten:

Vår 1 (k₁) og fjær 2 (k₂) er koblet parallelt. Den ekvivalente konstanten:

k₁₂ = k₁ +k₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Vår 3 (k₃) og fjær 12 (k₁₂) er seriekoblet. Den ekvivalente konstanten:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Bestem lengdeendringen på de tre fjærene:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Hvordan påvirker det å kombinere fjærer i serie den totale fjærkonstanten?
- Svar: Når fjærer kombineres i serie, reduseres den totale fjærkonstanten. Den resiproke verdien av den ekvivalente fjærkonstanten er summen av de resiproke verdiene av de individuelle fjærkonstantene: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Hvordan endres den totale fjærkonstanten når fjærer kombineres parallelt?
- Svar: Å kombinere fjærer parallelt resulterer i en samlet fjærkonstant som er summen av de individuelle fjærkonstantene: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Hvis to identiske fjærer er anordnet i serie, hvordan er den kombinerte fjærkonstanten sammenlignet med fjærkonstanten til en individuell fjær?
- Svar: Den kombinerte fjærkonstanten vil være halvparten av fjærkonstanten til en av de individuelle fjærene.

Hva skjer med forlengelsen eller kompresjonen av fjærer i serie når en kraft påføres?
- Svar: For fjærer i en serie, forårsaker den samme kraften at hver fjær forlenges eller komprimeres, men den totale forlengelsen (eller kompresjonen) er summen av forlengelsene (eller kompresjonene) til de enkelte fjærene.

Hvis fjærer i parallell utsettes for en kraft, hvordan fordeles denne kraften?
- Svar: For parallelle fjærer fordeles kraften mellom fjærene basert på deres fjærkonstanter. Fjærer med en høyere fjærkonstant vil bære en større del av kraften enn de med en lavere fjærkonstant.
Hvorfor kan fjærer i serie betraktes som én enkelt fjær med lengre lengde?
- Svar: Fjærer i serie har en kombinert effekt som tilsvarer å strekke en enkelt lengre fjær. Forlengelsene eller kompresjonene av de individuelle fjærene summerer seg, akkurat som de ville gjort i en lengre enkeltfjær.

Hvordan sammenlignes den potensielle energien lagret i fjærer i serie med den i fjærer i parallellkobling for samme påførte kraft?
- Svar: Fjærer i serie lagrer mer potensiell energi enn fjærer i parallell for samme påførte kraft fordi de gjennomgår en større kombinert forlengelse eller kompresjon.
Hvis en av fjærene i en parallell konfigurasjon ryker eller blir ineffektiv, hva skjer med systemets generelle oppførsel?
- Svar: Hvis én fjær i en parallell konfigurasjon ryker, vil de gjenværende fjærene fortsatt fungere. Systemets totale fjærkonstant vil imidlertid avta, og systemet vil ikke kunne utøve like mye gjenopprettingskraft som før.

Hvorfor er fjærer i serie mer utsatt for større deformasjoner enn fjærer i parallell for samme påførte kraft?
- Svar: For fjærer i serie virker den samme kraften på hver fjær, noe som får hver av dem til å strekke seg eller komprimeres. Den totale deformasjonen er summen av de individuelle deformasjonene. Parallelt fordeles kraften mellom fjærene, slik at hver av dem opplever en redusert effektiv kraft, noe som fører til mindre individuelle deformasjoner.
I praktiske anvendelser, hvorfor kan ingeniører velge å bruke fjærer parallelt i stedet for i serie?

Svar: Ingeniører kan velge fjærer parallelt for å oppnå en høyere total fjærkonstant, noe som resulterer i stivere oppførsel. Dette oppsettet kan også gi redundans; hvis én fjær svikter, fortsetter systemet å fungere, om enn med en redusert total fjærkonstant.