Perfekt elastiske kollisjoner
En kollisjon mellom to objekter kalles en perfekt elastisk kollisjon hvis momentumet eller den kinetiske energien til hvert objekt før kollisjonen er lik momentumet og den kinetiske energien til hvert objekt etter kollisjonen. Med andre ord gjelder loven om bevaring av momentum og loven om bevaring av kinetisk energi i perfekt elastiske kollisjoner. Bruken av ordet elastisk indikerer at etter kollisjonen klistrer ikke de to objektene seg sammen eller er ikke festet til hverandre, men spretter av. Momentumet til hvert objekt er bevart.
Impulsen til hvert objekt er bevart.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. Ligning 1.5
Den kinetiske energien til hvert objekt er bevart.
1⁄2 mv 1 2 + 1⁄2 mv 2 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 ………………….. Ligning 1.6
[IRP]
Den perfekt elastiske kollisjonen må være stille og genererer ikke varme på grunn av friksjon mellom de to kolliderende objektene. Hvis kollisjonen mellom to objekter genererer støy og varme, bevares ikke objektenes kinetiske energi. Noe av den kinetiske energien omdannes til lydenergi og varmeenergi, og noe omdannes til indre energi. Et eksempel på en perfekt elastisk kollisjon er kollisjonen mellom atomære og subatomære partikler.
I et problem med perfekt elastisk kollisjon, dersom starthastigheten er kjent mens slutthastigheten er ukjent, kan ikke problemet løses ved kun å bruke ligning 1.5 og 1.6. Av denne grunn manipuleres begge ligningene for å utlede andre ligninger, som kan brukes til å bestemme slutthastigheten.
Fjern faktor 1/2 og manipuler deretter 1.6
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Ligning 1.7
[IRP]
Manipuler ligning 1.5
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m1 ( v1 – v1 ' ) = m2 ( v2 ' – v2 ) ………………….. Ligning 1.8
Del ligning 1.7 med ligning 1.8 for å få det endelige resultatet
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. Ligning 1.9
Ligning 1.5 og 1.9 kan brukes til å løse problemer med perfekt elastiske kollisjoner. Kombiner ligning 1.5 og 1.9 for å få to ligninger for å bestemme slutthastighetene til to objekter hvis massene og starthastighetene deres er ukjente.
Når du løser oppgaver ved hjelp av ligningene ovenfor, bruk riktig fortegn for v1 og v2 . Hvis objekt 1 beveger seg til høyre, er v1 positiv , og omvendt, hvis objekt to beveger seg til venstre, er v2 negativ . Hvis begge objektene beveger seg i forskjellige retninger, men det ikke finnes informasjon om bevegelsesretningene, må v1 og v2 ha forskjellig fortegn, for eksempel er v1 positiv og v2 negativ.
4.1.1 To objekter med samme masse
Hvis m1 = m2 , er v1 ' = v2 og v2 ' = v1.
Hva om de to objektene beveger seg i forskjellige retninger?
For eksempel, hvis objekt 1 beveger seg til høyre og objekt 2 beveger seg til venstre før kollisjonen, vil objekt 1 bevege seg til venstre (v1 ' = –v2 ) og objekt 2 vil bevege seg til høyre (v2 ' = v1 ) etter kollisjonen.
Hva om et av objektene i utgangspunktet er i ro?
For eksempel, hvis objekt 2 er i ro før kollisjonen (v² = 0), vil objekt 1 være i ro ( v¹ ' = 0) og objekt 2 vil bevege seg med samme hastighet som starthastigheten til objekt 1 (v² ' = v¹ ) etter kollisjonen. Hvis objekt 1 beveger seg til høyre før kollisjonen, vil objekt 2 bevege seg til høyre etter kollisjonen. Derfor utveksler de to objektene hastigheter.
[IRP]
Eksempelspørsmål 4
Objektene A (2 kg) og B (2 kg) beveger seg i motsatte retninger med hastigheter på henholdsvis 4 m/s og 2 m/s. Hvis objektene A og B kolliderer i en perfekt elastisk kollisjon, hva er slutthastighetene til objektene A og B?
Kjent:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Ønskes: v A ' og v B '
løsning:
v A ' = – 2 m/s og v B ' = 4 m/s
Etter kollisjonen beveger objekt A seg med en hastighet på 2 m/s og objekt B beveger seg med en hastighet på 4 m/s i motsatte retninger. Hvis objekt A beveger seg til høyre og objekt B beveger seg til venstre før kollisjonen, vil objekt A bevege seg til venstre og objekt B vil bevege seg til høyre etter kollisjonen.
Eksempelspørsmål 5
Objekt A (2 kg) beveger seg til høyre med en hastighet på 2 m/s og kolliderer med objekt B (2 kg) som er i ro. Hvis de to objektene kolliderer i en perfekt elastisk kollisjon, hva er slutthastighetene til objektene A og B?
Kjent:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Ønskes: v A ' og v B '
løsning:
v A ' = 0 og v B ' = 2 m/s
Etter kollisjonen er objekt A i ro, og objekt B beveger seg til høyre med en hastighet på 2 m/s.
[IRP]
4.1.2 To objekter med ulik masse
Hvis to objekter har forskjellige starthastigheter og masser (mindre forskjell), er slutthastighetene kjent ved å bruke ligningene 1.10 og 1.11.
Hvis objekt 2 i utgangspunktet er i ro (v 2 = 0), blir ligning 1.10 til ligning 1.12 og ligning 1.11 til ligning 1.13.
Hvis v 2 = 0, er m 1 veldig stor, og m 2 er veldig liten, ved å løse ligningene 1.12 og 1.13 får man v 1 ' = v 1 og v 2 ' = 2v 1. Hvis v 2 = 0, er m 1 veldig liten, og m 2 er veldig stor, ved å løse ligningene 1.12 og 1.13 får man v 1 ' = -v 1 og v 2 ' = 0. Positive og negative merker indikerer motsatte bevegelsesretninger.
Eksempelspørsmål 6
En gjenstand med en masse på 1 kg beveger seg med en hastighet på 20 m/s og kolliderer med en vegg i en perfekt elastisk kollisjon. Hva er slutthastighetene til gjenstanden og veggen?
Kjent:
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = svært høy, v B = 0
Ønskes : v A ' og v B '
løsning:
v A ' = -20 m/s og v B ' = 0
Etter kollisjonen spretter objekt A av med en hastighet på 20 m/s, og objekt B forblir i ro. Hvis objekt A beveger seg til høyre før kollisjonen, beveger det seg til venstre etter kollisjonen.
