Hookes lov og elastisitet – problemer og løsninger

Hookes lov og elastisitet – problemer og løsninger

Endringen i lengde

1. En stang har lengden L, trukket av kraften F. Forlengelsen er ∆L. Hva er størrelsen på kraften hvis lengdeendringen er 4∆L?

Kjent:

Kraft 1 (F₁) = F

Endringen i lengde 1 (∆L₁) = ∆L

Endringen i lengde 2 (∆L₂) = 4 ΔL

Ønskes: Kraft 2 (F₂)

løsning:

Ligningen til Hookes lov

k = F / ΔL

k = elastisitetskonstant, F = kraften til F, ΔL = lengdeendringen

k₁ = k₂

F₁ / ΔL₁ =F₂ / ΔL₂

F / ΔL = F₂ / 4ΔL

F / 1 = F₂ / 4

F = F₂ / 4

F₂ = 4F

2. Fjærene er koblet i serie/parallell, som vist i figuren nedenfor. Fjær 1 har konstant 200 N/m, fjær 2 har konstant 200 N/m og fjær 3 har konstant 200 N/m. Massen til objektet er 100 gram og akselerasjon på grunn av tyngdekraften er 10 m/s²Hva er endringen i lengden på de tilsvarende vår.

Kjent:

Objektets masse (m) = 100 gram = 0.1 kg

k₁ = k₂ = k₃ = 200 N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s²) = 1 kg m/s² = 1 Newton

Ønskes: Endringen i lengden på tilsvarende vår.

løsning:

Bestem ekvivalenten fjærkonstant:

Vår 2 (k₂) og fjær 3 (k₃) er koblet parallelt. Ekvivalenten fjærkonstant:

k_p = k₂ +k₃ = 200 + 200 = 400 Nm^-1

Vår 1 (k₁) og fjær p (k_P) er koblet i serie. Den ekvivalente fjærkonstanten:

1 / k_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k_s = 400/3 Nm^-1

Det tilsvarende vårkonstanten er 400 / 3 Nm^-1

Bestem endringen i lengden på de tilsvarende vår:

Ligningen til Hookes lov:

∆x = F / k = w / k

Endringen i lengden på de tilsvarende vår:

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Vårens konstant

3. Hva er fjærkonstanten i henhold til dataene i tabellen nedenfor.

løsning:

Ligningen til Hookes lov:

k = F / Δx

Vårens konstant:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m²

4. Tre fjærer er koblet i serie og parallell som vist i figuren nedenfor. Konstanten til fjæren k₁ = k₂ = 3 Nm^-1 og k₃ = 6 Nm^-1Hva er konstanten til fjærekvivalenten?

Kjent:

Fjærkonstant 1 (k₁) = konstant for fjær 2 (k₂) = 3 Nm^-1

Fjærkonstant 3 (k₃) = 6 Nm^-1

Ønskes: konstanten til den ekvivalente fjæren (k)

løsning:

Vår 1 (k₁) og fjær 2 (k₂) er koblet parallelt. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

k_p = k₁ +k₂ = 3 + 3 = 6 Nm^-1

Vårp (k_P) og fjær 3 (k₃ ) er koblet i serie. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

1 / k_s = 1/k_p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k_s = 6/2 = 3 Nm^-1

Konstanten for fjærekvivalenten = 3 Nm^-1.

5. En fjær med lengde L, trukket av vekten av w. I følge dataene i tabellen nedenfor, hva er konstanten til den ekvivalente fjæren:

løsning:

k = F / ax

Vårens konstant:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m²

6. I følge dataene i tabellen nedenfor, hva er konstanten til den ekvivalente fjæren:

løsning:

k = F / ax = m / ax = mg / ax

k = elastisitetskonstant, w = vekt, m = masse, g = tyngdeakselerasjon, Δx = lengdeendring

Fjærkonstant:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Hvis k₁ = 4k, hva er konstanten til den ekvivalente fjæren.

løsning:

To fjærer er koblet parallelt. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

k_p = k + k = 2k

To fjærer er koblet i serie. Konstanten til den ekvivalente fjæren

1 / k_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k_s = 4k/3

8. I følge dataene i tabellen nedenfor, hva er konstanten til den ekvivalente fjæren:

løsning:

Ligningen til Hookes lov:

k = F / ΔL

Vårens konstant:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm^-1

9. Den minste konstanten er…

Oppløsning

Ligningen til Hookes lov:

k = F / Δx

k = elastisitetskonstant, F = kraft, Δx = lengdeendringen

Elastisitetskonstant:

k_A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k_B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k_C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k_D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k_E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Hva er den største konstanten ifølge dataene i tabellen nedenfor?

løsning:

Ligningen til Hookes lov:

k = F / Δx

k_A = 7 / 0.035 = 200 Nm^-1

k_B = 8 / 0.025 = 320 Nm^-1

k_C = 6 / 0.020 = 300 Nm^-1

k_D = 9 / 0.045 = 200 Nm^-1

k_E = 10 / 0.033 = 303 Nm^-1

Den største konstanten er 320 Nm^-1.

11. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom endringen i kraft (ΔF) og økningen i lengde (Δx). Hva er grafen som viser den minste elastisitetskonstanteny.

Oppløsning

Ligningen til Hookes lov:

k = F / Δx

Δx = lengdeendringen, F = kraft, k = elastisitetskonstant

Elastisitetskonstant:

k_A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k_B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k_C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k_D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k_E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Hvilken grafh har de største elastiske konstantene?

løsning:

Konstant av elastisitet :

k_A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k_B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k_C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k_D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k_E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Vårens potensielle energi:

13.Grafen nedenfor viser forholdet mellom kraft og endringen i fjærlengde. Hva er vårens potensielle energi, ifølge grafen nedenfor.

Kjent:

F = 40 N

x = 0.08 meter

Ønsket : Ocuco vårens potensielle energi

løsning:

Vårens konstant:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Vårens potensielle energi:

PE = 1/2 kx² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 joule

14. En 2 kg tung kloss er festet til fjæren. Hvis lengden på fjæren øker med 5 cm og tyngdeakselerasjonen er 10 m/s², hva er vårens potensielle energi.

Kjent:

Lengdeøkningen (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 m/s²

Blokkens masse (m) = 2 kg

Blokkens vekt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Ønskes: vårens potensielle energi

løsning:

Elastisitetskonstanten:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Vårens potensielle energi:

PE = ½ k Δx² = ½ (400)(0.05)² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 joule

15. Endringen i lengde på fjæren er 5 cm når den trekkes med en kraft på 20 N. Hva er den potensielle energien til fjæren når lengdeendringen på fjæren er 10 cm?

Kjent:

Lengdeendringen (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Kraft (F) = 20 Newton

Ønsket : Vårens potensielle energi

løsning:

Vårens konstant:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Fjærens potensielle energi når Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx² = ½ (400)(0.1)² = (200)(0.01)

PE = 2 joule

Objektets vekt

16. Fire fjærer der konstanten for hver fjær er 800 N/m, koblet i serie-parallell, som vist i figuren. En blokk er festet til fjæren. Lengdeendringen på alle fjærene er 5 cm. Hva er vekten av blokkene?

Kjent:

k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 800 Nm^-1

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ønskes: blokkens vekt (w)

løsning:

Bestem konstanten til den ekvivalente fjæren

Vår 1 (k₁), vår 2 (k₂) og fjær 3 (k₃) er koblet parallelt. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

k_p = k₁ +k₂ +k₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm^-1

Vårp (k_P) og fjær 4 (k₄) er koblet i serie. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

1 / k_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k_s = 2400/4 = 600 Nm^-1

Konstanten til den ekvivalente fjæren er 600 Nm^-1

Bestem vekten av objektet:

Ligningen til Hookes lov:

F = k Δx eller w = k Δx

Objektets vekt:

w = (600 Nm^-1)(0.05 m) = 30 Newton

17. Fire fjærer er seriekoblet og parallellkoblet. Konstanten for hver fjær er 1600 N/m. En blokk er festet på enden av fjæren, som vist i figuren. Lengdeøkningen på alle fjærene er 5 cm. Hva er vekten av blokkene?

Kjent:

k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 1600 Nm^-1

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ønskes: vekten av blokken

løsning:

Bestem konstanten til den ekvivalente fjæren

Vår 1 (k₁), vår 2 (k₂) og fjær 3 (k₃) er koblet parallelt. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

k_P = k₁ +k₂ +k₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm^-1

Vårp (k_P) og fjær 4 (k₄) er koblet i serie. Konstanten til den ekvivalente fjæren:

1 / k_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k_s = 4800/4 = 1200 Nm^-1

Konstanten til den ekvivalente fjæren er 1200 Nm^-1

Bestem vekten av objektet:

Ligningen til Hookes lov:

F = k Δx eller w = k Δx

Objektets vekt:

w = (1200 Nm^-1)(0.05 m) = 60 Newton

1. Hva er Hookes lov?
   • Svar: Hookes lov beskriver forholdet mellom kraften som påføres et elastisk objekt og den resulterende deformasjonen (vanligvis forlengelse eller kompresjon). Mer spesifikt sier den at kraften som kreves for å komprimere eller strekke en fjær er direkte proporsjonal med avstanden den strekkes eller komprimeres, forutsatt at elastisitetsgrensen ikke overskrides.
2. Hva betyr det når vi sier at et materiale har nådd sin elastisitetsgrense?
   • Svar: Når et materiale har nådd sin elastisitetsgrense, betyr det at det ikke lenger vil gå tilbake til sin opprinnelige form eller størrelse etter at deformasjonskraften er fjernet. Utover dette punktet oppfører materialet seg plastisk og kan bli permanent deformert.
3. Hvordan forholder fjærkonstanten (k) seg til stivheten til en fjær?
   • Svar: Fjærkonstanten (k) er et mål på en fjærs stivhet. En større verdi på k indikerer en stivere fjær, som betyr at mer kraft er nødvendig for å deformere den en gitt mengde, mens en mindre k indikerer en mer ettergivende eller mykere fjær.
4. Hva er enhetene til fjærkonstanten i SI-systemet?
   • Svar: I SI-systemet er enhetene for fjærkonstanten (k) Newton per meter (N/m).
5. Hvorfor regnes oppførselen beskrevet av Hookes lov som lineær?
   • Svar: Oppførselen anses som lineær fordi forholdet mellom den påførte kraften (F) og forskyvningen (x) er en rett linje, med forholdet gitt som $F=kx$, hvor k er en konstant for et gitt materiale eller en gitt fjær.
6. Gjelder Hookes lov bare for fjærer?
   • Svar: Nei, Hookes lov gjelder for ethvert elastisk materiale som deformeres lineært med den påførte kraften, opp til dets elastisitetsgrense. Selv om fjærer er et vanlig eksempel, kan andre materialer som gummibånd, metaller under små deformasjoner og noe biologisk vev også vise oppførsel beskrevet av Hookes lov.
7. Hva skjer hvis et materiale strekkes utover sin elastisitetsgrense, men ikke nok til å brekke?
   • Svar: Hvis et materiale strekkes utover sin elastisitetsgrense, men ikke til det punktet at det brister, vil det gjennomgå plastisk deformasjon. Dette betyr at når kraften fjernes, vil ikke materialet gå helt tilbake til sin opprinnelige form, og noe permanent deformasjon vil forbli.
8. Hvordan forholder begrepene spenning og tøyning seg til Hookes lov?
   • Svar: Spenning er kraften som påføres per arealenhet, og tøyning er den relative deformasjonen av et materiale. Hookes lov, når det gjelder spenning og tøyning, sier at spenningen er direkte proporsjonal med tøyningen, der proporsjonalitetskonstanten er materialets Youngs modulus. Dette er en annen måte å uttrykke det lineære forholdet mellom kraft og deformasjon på, men for bulkmaterialer i stedet for bare fjærer.
9. Hva er Youngs modulus, og hvordan er den relatert til elastisitet?
   • Svar: Youngs modulus, vanligvis representert av bokstaven $E$, er et mål på et materiales stivhet i form av spenning eller kompresjon. Det beskriver materialets evne til å motstå deformasjon under en påført kraft. En høyere Youngs modul indikerer et stivere materiale, og det er definert som forholdet mellom spenning og tøyning.
10. Kan alle materialer beskrives ved hjelp av Hookes lov?

• Svar: Nei, ikke alle materialer oppfører seg i henhold til Hookes lov. Mange materialer, spesielt de som er ikke-lineære, viskoelastiske eller plastiske, viser ikke et lineært forhold mellom spenning og tøyning. Hookes lov er en idealisert beskrivelse og er mest nøyaktig for små deformasjoner av elastiske materialer.